Appliquons à l'équation du troisième degré
(5) U3 4-PU»-hQ = o,
dans laquelle P et Q désignent des polynômes entiers en u , le premier au plus du second degré, le deuxième du sixième degré. Cette équation comprend toutes les fonctions monodromes doublement périodiques du troisième degré; car on sait que, dans une fonction doublement périodique, la somme des m valeurs de z qui , dans chaque parallélogramme, corres-
3l8 LIVRE VI.
pondent à une même valeur de u est constante, et, par suite,
dz 'du
dz
la somme des m valeurs de -j- qui correspondent à une même valeur de u est nulle; ainsi le terme du degré m — i en^ ou du premier degré en — manque dans réquatîon.
On a ici
ce qui donne
Cette équation n'aura que des racines doubles si le polynôme du sixième rons donc
?(«.) = ^PÎ-+-Q. = o.
du sixième degré — P* -+- Q est un carré parfait. Nous pose-
-ip3-+-Q = R%
en appelant R un polynôme du troisième degré au plus. Telle est la condition générale a laquelle doit satisfaire Féquation du troisième degré, pour que Tintégrale soit monodrome et doublement périodique.
265. Considérons maintenant une valeur de u annulant Q; à cette valeur i/j correspondent, dans l'équation (5), des racines égales à zéro. Posons
u == Ut 4- m' ; l'équation devient
u^-f-(p.-M>', /i'-+-P'; ^'W' + Q' w'-+.Q';-iil-4- ... =0.
Si Ui est racine simple de Q et n'annule pas P, U a deux valeurs infiniment petites ; le groupe des termes du degré le moins élevé étant P, U* 4- Q\ vl ^ le premier terme du développement
de U suivant les puissances de ï/ ^ a l'exposant -5 lequel est de
INTÉGRATION PAR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. [Ug
la forme voulue i (n°246). Si iii est racine double de Q
et annule P, U a trois valeurs infiniment petites^ le premier groupe étant U* -h Q'' » le premier terme du développe-
ment a l'exposante qui est encore de la forme voulue. Ainsi,
pour que la fonction intégrale soit monodrome et doublement
périodique, il faut que les racines simples de Q n'annulent
pas P, et que les racines doubles de Q annulent P. D'ailleurs Q
De doit pas avoir de racine triple.
Si une racine simple de Q annulait P, l'intégrale cesserait
d'être monodrome. Si une racine double de Q n'annulait pas
«'* P, le premier groupe étant Pj U* H- Q' — , U se développerait
suivant les puissances entières de f/ ; le premier terme étant du premier degré, l'intégrale resterait monodrome, mais serait
simplement périodique. Si Q avait une racine triple n'annulant pas P, le premier groupe étant PjU* -f-QT 5 et le
premier terme du développement ayant l'exposant -» l'intégrale serait rationnelle (n** 251).
266. Il reste à examiner de la même manière, pour i^= o, la transformée
Pour que l'intégrale soit doublement périodique, le dernier terme ne devant pas avoir de racine triple pour (^ = o, il faut que le polynôme Q soit au moins du quatrième degré. Désignons par p le degré du polynôme P, et par g celui de Q, Il y a trois cas à considérer : i"* q = 6] l'équation, pour >^ = o , admet trois racines différentes de zéro ; dans ce cas, la fonction doublement périodique a trois infinis simples dans chaque
parallélogramme^ 2" y = 5 -, la valeur ^^ = o étant racine simple du dernier terme et ne devant pas annuler le coefficient de y, le polynôme P sera du second degré; comme à r = o correspondent pour V une racine simple différente de zéro et deux racines égales à zéro, la fonction doublement périodique aura un infini simple et un infini double; 3^ ^ =4; la valeur (^ = o étant racine double du dernier terme et devant annuler le coefficient de \*, le polynôme P sera au plus du premier degré; V ayant trois racines égales à zéro, la fonction doublement périodique aura un infini triple.
