Exemple /, — Soit Téquation différentielle

nous supposons que la variable part de 2 = o , la fonction ayant la valeur initiale ii = o, et la dérivée la valeur corres- i pondante U = i .

Le polynôme Q n'a que des racines simples qui n'annulent

pas P. Le polynôme — P^-h Q = — 271/' est carré parfait.

La transformée

poiir»' = o, admet une racine triple infiniment petite et du

degré ^- Ainsi , en vertu du théorème V (n^'âSS), l'intégrale

est monodrome et rationnelle ; à (^ = o correspond seulement X = 00 : c'est donc une fonction entière du troisième degré.

La variable u n'entrant dans Téquation qu à des puissances paires, si Ton fait marcher u à partir de l'origine, suivant deux

chemins opposés, il est évident que— aura la même valeur

le long de ces deux chemins^ ce qui donnera pour z des valeurs égales et de signes contraires. On en conclut que, réciproquement, à des valeurs de z égales et de signes contraires correspondent des valeurs de u égales et de signes contraires. Ainsi la fonction enlière ne contient que des puissances impaires;

EXEMPLES d'intégration. 3^1

elle est de la forme

u = A«*4-Ba.

Pour z = o , U = I -, donc B = i . Quant au coefficient A , on le déterminera aisément à F aide de la transformée. Le

premier groupe V'-|-a7i'*=o donne ^^=-^\ donc A=i.

Ainsi Téquation proposée admet pour intégrale