Exemple III. -^ Soil Féqualion

La variable z part toujours de z = o , la fonction ayant la variable initiale u = o et la dérivée la valeur D = i .

Le polynôme Q a ici une racine triple u = o , à laqndk

correspond pour U une racine double infiniment petite et dv

degré - par rapport à u. Le polynôme

est un carré parfait. La transformée

V3-hP»V»-h27 — 4p'= o

n*admet, pour i> = o , que des racines simples différentes de zéro. On conclut de là que l'intégrale est monodrome et rationnelle.

Comme elle devient infinie pour trois valeurs finies de 2, et infiniment petite du second degré pour z = 00 , son dénominateur est du troisième degré , son numérateur du premier d^é. L^équation différentielle ne contient que des puissances de u multiples de trois. Car, si l'on fait marcher u à partir de l'origine, suivant un chemin quelconque, puis suivant un autre

que Ton déduit du premier, en multipliant u par 7 = 6 ,

dz

— ayant la même valeur le long de ces deux chemins , z deviendra /z. Réciproquement, quand on remplace upar/^« u devient ju. Ainsi la fraction ratiopnelle est de la forme

Pour « = o, U a une racine double infiniment petite; le

premier groupe — U'h- 4'^^= » donne 11 = -• Donc A = 1, et rintégrale cherchée est

EXEMPLES d'iHTÉG RATION. 3a3