Exemple IF. — Soit l équation

La variable part de z = o, la fonction ayant la valeur initiale u = o et la dérivée la valeur U = i .

Le polynôme Q a une racine quadruple u = 2 , qui entre deux fois dans P ^ U admet trois valeurs infiniment petites dont

le premier terme du développement a pour exposant ^* Les

.„.__., Ip..

carré parfait. La transformée

a trois racines simples pour (^ = o. On en conclut que Tintégraleest une fraction rationnelle du troisième degré

autres racines de Q sont simples. Le polynôme -^ P' -f- Q est

C«*-+- Dz'-f-E«4-

Quand z augmente indéfiniment , u tend vers la valeur 2 : donc A = 2C. Si l'on pose m = 2 -4- u^, Téquation, bornée au premier groupe ,

donne

Comme

il en résulte

Si Ton développe la fonction U dont la valeur initiale est i , suivant les puissances croissantes de u^ on a, pour les deux pre-

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miers termes ,

U = I -f- 8'/, d'où Al = z 4- 4«%

ce qui donne

Nous connaissons maintenant toutes les constantes; Fintégrale cherchée est