Exemple V. — Soit F équation
U»— U* — 4a'-ha7ii<=o,
La variable part de z = o, la fonction ayant la valeur initiale ïi = o , et la dérivée la valeur U = i .
Le polynôme Q admet la racine double u= o, qui n'annule pas P, et à laquelle correspondent pour U deux racines infiniment petites, monodromes et du premier degré. Le polynôme
-ip3^Q=2^ L^^iy
est carré parfait. La transformée
pour i^ = o , admet trois racines infiniment petites du de-
gré ^- On conclut de là que l'intégrale est une fonction mono-
drome simplement périodique, ayant un infini triple dans chaque période.
La j)ériode se produit quand u tourne autour de Torigine, U ayant une valeur infiniment petite. L'équation, bornée au premier groupe
-,. , , du ,
U * 4- 4 " — : o , OU — = ni 2 idz j
montre que la période est tt.
EXEMPLES D^lNTÉCÏRÀTIOlf. SsS
L^équation ne contenant que des puissances paires deu, comme dans l'exemple I, la fonction u change de signe avec z. Donc
Ceci ne peut avoir lieu que si z = - est un zéro ou un infini ;
mais la fonction ne devient nulle que pour z = o et z = oo ; il
en résulte que z = - est l'infini triple.
La fonction simplement périodique u s'exprime rationnellement au moyen de la fonction iangz qui a la même période tt. L'infini étant aussi le mème^ l'expression est entière, et Ton a
uz= A tang z H- B tang' «.
Pour ^ = o , U = I ; donc A= i . Pour les petites valeurs de w, le développement de la fonction U, dont la valeur initiale est i, borné aux deux premieis termes , est
U=:i-h4a% d'où a=z4.|z';
donc B = I . La fonction intégrale a pour expression M = tang z -h tang' z, 272. Exemple FI. -^ Soit l'équation
U» — U' — — (l — 2 tt» -h 2 «M* 4- — = o.
La variable part de z = o, la fonction ayant la valeur initiale w = o, et la dérivée la valeur U = i .
Le polynôme Q admet la racine double m == o qui n'annule pas P*, les deux valeurs infiniment petites de U sont du premier degré. Quand u tend vers zéro, z augmente indéfiniment,
et Ton a la période o) === — ^ tti. Le polynôme -=- P' -f- Q est
carré parfait. La transformée
pour ^^= Oy admet trois racines simples
ce qui fait trois infinis simples. Ainsi Tintégrale est monodrome et simplement périodique. Cette fonction s'exprimera rationnellement au moyen de tang — •
Si Ton remarque que u ne devient nulle que pour 2 = o et z = 00 , et que les valeurs de V© » Vj , V, sont les racines d'une équation binôme, on voit que l'expression a la forme
- Ung I 1 -h tang» — )
A tang*
fù
Pour trouver le coefficient A , développons la fonction U , doiit la valeur initiale est 1, pour les très-petites valeurs de u. On a, en se bornant aux trois premiers termes ,
d'où l'on déduit
En développant de même l'expression de u et identifiant > on trouve
Ainsi l'intégrale cherchée est
U=Z-i i —i. , a)=-ï— TTI.
6) ^7fZ 2
1 4- - tang^ —
?73. Exemple FIL — Soit l'équation
EXEMPLES d'intégration. 3a 7
La variable part de z = o, la fonction ayant la valeur u = o et la dérivée la valeur U = i .
Le polynôme Q n'a que des racines simples qui n'annulent pas P. Le polynôme— P* -f- Q est carré parfait. La transformée
V— Se' V»— I -f- 4ï;« = ,
pour 1^ = o , se réduit à V — i =. o et a trois racines simples différentes de zéro. On en conclut que l'intégrale est monodrome et doublement périodique (n** 252).
22L* Posons y = e ^^ .Si Ton remplace z par y 2?, u devient 71/,
et la dérivée ne change pas \ la fonction change de signe avec z.
Les deux périodes sont ot) et jtù, La fonction a trois infinis
simples ,
et trois zéros simples,
Nous nous proposons d'exprimer cette fonction doublement périodique au moyen de la fonction elliptique X [gz^ Ar), qui admet les deux périodes o) et joa. On sait que les deux zéros
de la fonction elliptique sont o et -9 et les deux infinis
— et — •
La fonction ul n'a plus Tinfini -9 mais elle a les deux infinis * 2
doubles — et — *, elle s'exprime donc de la manière suivante :
(a) «>z=A).^-+-B-+-CV;
le polynôme du second degré en A ne contient pas de terme du premier degré , puisque la fonction ul ne change pas quand on change le signe de A. .
Il faut déterminer les cinq constantes A, B, C, g, k. Le développement de la fonction elliptique suivant les puissances croissantes de z est
Mgz) = gz-.^-^^g^z' + ^ ....3.4.5 g'''--'
d'où
V(gz)=.--^-^g'»'+ ,^3^ g'.'-....
D'autre part, la fonction implicite U, dont la valeur initiale est Funité) a pour développement
d'où
En substituant dans Téquation (a) et égalant les coefficients des mêmes puissances de z jusqu'à la quatrième inclusivement, il vient
(i) B-hC = o,
(2) Ag^C—^g=ly
(3) Ci L^ g^A-^g^ g-.
L'équation transformée, pour t^ = o, se réduit à V — i =a; les trois racines sont i , /*,7*. On peut supposer que la première se rapporte à z = - > la seconde à z== — et la troisième
à — * Posons d'abord z = -4- z', on aura, en se bornant au 2 2 *
premier terme,
(• =: z' , d*où « =1 -• Mais on sait que
EXEMPLES d'intégration. 329
Si l'on substitue dans Téquation (a) , il viendra
Posons maintenant
et remarquons que
on a d'ailleurs
v=zpz\ d*où rt = -~.
En substituant dans Téquation (a), il vient
(5) A^CX=-g^Xy.
Si l'on pose
en remarquant que
on aura
