A).' + B4-CX

EXEMPLES d'intégration. 66 1

On aura donc

(a) a = X(AV-f-B-l-CV).

Il faut déterminer les cinq constantes A, B, C, g, A.

Pour les valeurs très-petites de z, en se bornant au premier terme, on a

ce qui donne la relation

(0 Bg^Cg=i, '

Pour u = o, l'équation différentielle devient

ÎJ3 3U»-4- 2 = 0;

si Ton supprime la solution U = i qui correspond k z = Oy elle se réduit à

U' — 2U — 2 = 0; d'où

U=iqzv^3.

Faisons correspondre la première racine à -z = -• la seconde

a z =z — Posons z = — h ^ , nous aurons

d'où Ton déduit, en substituant dans Téquation (a),

(2) Bg^-Cg^^v/â-i.

Posons de même z = — h z\ nous aurons

et, en substituant dans l'équation (a), nous obtiendrons ïe& deux relations

(4) BA^c'-^^ = o.

La transformée

donne, pour le premier terme du développement ,

en posant z = h z'. Si l'on substitue dans Téquation

(a), ou trouve la relation

Nous avons maintenant un nombre d'équations suffisant }K)ur la détermination des constantes. Les équations (i), (s), (3), donnent

Substituant ces valeurs dans les équations (4) et (5), on obtient les deux équations

d'où l'on déduit

/ = — (3-h2 v/3)zt2V5 4-3v^3, kg^

oi Tintégrale cherchée a pour expression

w=:X(A>'-*- B-4-CV).

275. Nous allons vérifier que celte fonction satisfait bien à Téquation différentielle proposée. Voici le calcul de vérification. On a, en différentiant,

- = 3CX'X^-t-4BXX^4- CH-(3A).-'-iBj>/i

EXEMPLES d'intégration. 333

d'où Ton déduit

i^=r i8C'AU»-f-48B'CXn«+(29B'X»4- i5C^X-')V

-f- [i4 BC — B' (i 4- X-*)] l' "+■ (B' -I- C^)

-+- 2X' [ç^CHn^-h i5BCX'V+ (3C'/- H- 4B'X)V+ BC],

~=io8C'X«>"-H432BC'/a-+(549B'CX'M- i35C'X*)X»

-f- (238B3 A' 4- 3o6BC»X') ).«

-f-[36D/2-4- i68B'CX'— i2B^(i4-X')X]V 4- (3oBC^ X- -f- i8B^ X)).2 -f- (O -h 3B»C)

io8C^X-*X'«-h 324BC'X«V l -h(279B»CX=»4-8(C^/'3)X« -hX' ^ -h(67B^/»-h ii7BC'X')X*

+ [33B'C/- 4- 9C^X--.B3(i 4- X')]X2 4-(3BC»4-B=»)

On a, d'autre part

«» = 2 A'X« 4- 4 ABV 4- (B' 4- C») X» 4- 2CX» (AX'4- B) X% («'— i)' = 8A*X"4-32C^BX-^X'»4-(4oB»C»X''4-8eX'')X» 4-{i6B'C/ 4- i6BC^/ — 4C'X»)X« 4-[(B'-l-C')'— 8AB4-4B'C=»]V— 2(B^4-C')X^4-i

/ 2An«4-6A»BX» \

-f.4CXn'| 4-[A(B^4-C^)4-4AB*]X* (.

En substituant ces valeurs dans l'équation différentielle proposée et tenant compte des relations qui existent entre les cinq constantes, on voit que Féquation est vérifiée.