Prenons pour second exemple la fonction

M=: log(l -^-z).

Nous supposons que l'on parte de jb = o avec la valeur initiale u == o. Cette fonction est monodrome tant que l'on reste dans une portion du plan ne comprenant pas le point A qui correspond à z == — i . Mais si l'on tourne autour de ce point, la fonction éprouve à chaque tour un accroissement égal à

(*) Journal dr Malhijmaliqiics de M. Liouvillo, tome XV, pa(;c 365

DÉFIMlTlOlfS. ^

2 7r i^ elle est donc susceptible de prendre en chaque point du plan une infinité de valeurs.

6. Lorsqu'une fonction u d'une variable imaginaire z est continue, à un accroissement infiniment petit de la variable correspond un accroissement infiniment petit de la fonction, et la limite du rapport de l'accroissement de la fonction à Taccroissement de la variable est la dérivée de la fonction. On a donc

du dz ■"

rfX-+-/rfY dx ^ dy -"" \dx ^ dy ^ )

dx -\-i dy dx -+- ' dy

^X .^Y /e/X ,dX\ dy du dx dx \dy dy ) dx

dy En général la dérivée dépend de la quantité -^5 et par conséquent de la direction du déplacement infiniment petit donné au point z, A chaque direction de déplacement correspond une dérivée particulière, et la fonction a ainsi, pour une même valeur de z^ une infinité de dérivées.

Lorsque la valeur de la dérivée est indépendante de la direction du déplacement, en d'autres termes lorsque la fonction admet une dérivée unique en chaque point, M. Cauchy dit que la fonction est monogène.

Pour qu'une fonction soit monogène, il est nécessaire que le

dy . ^ , rapport arbitraire — disparaisse de l'expression de la dérivée,

ce qui exige que l'on ait

dX ,dY dX .dY

dx dx dy dy

Les fonctions X et Y étant réelles, cette équation se décompose

en deux :

efy dx

7. Ces conditions analytiques ont une signification géomé* trique très-remarquable. Considérons les deux surfaces ayant pour ordonnées verticales X et Y , les relations ( i ) indiquent que si l'on fait tourner d'un angle droit, et de Taxe des x vers l'axe des y, la surface X autour d'ime verticale quelconque, le plan tangent à cette surface au point situé sur cette verticale devient parallèle au plan tangent à la surface Y au point correspondant. En effet, les normales aux deux surfaces X et Y font avec les trois axes des coordonnées des angles dont les cosinus sont proportionnels respectiveipent à dJi dH

dy'

rfi'

La rotation indiquée amène l'axe des x dans la direction dcr Taxe des y, et la direction de Taxe des y dans la direction inverse de l'axe des x-y après celte rotation, la normale à la surface X fait donc avec les axes primitifs des angles dont les cosinus sont proportionnels respectivement à

r/X dX

djr dx

OU, eu vcilu des relations ( i ) , aux quantités

ciY dY __

dx dy- '

donc elle est parallèle a la normale à la surface Y,

On voit aussi que si par une verticale on mène deux plans rectangulaires quelconques, les tangentes aux sections déterminées par ces deux plans dans les deux surfaces font des angles égaux avec la verlicalo.

Remarquons encore que, pour que la fonction u soit monogène , aucune des deux fonctions réelles X et Y, qui la composent, ne peut être arbitraire; car, en vertu des relations (i) , cliacune des fonctions doit satisfaire à Téquation aux différences

partielles du second ordre

Le» deux surfaces X et Y ne sont convexes en aucune de leurs parties; car leurs indicatrices aux points correspondants se projettent sur le plan horizontal suivant des hyperboles écpiilatères égales, dont chacune a pour axes les asymptotes de l'autre.

8. Les conditions ( i ) pour qu'une fonction soit monogène sont susceptibles d'une autre interprétation géométrique qui a été remarquée par M. Caucliy. Si Ton représente la fonction u , comme la variable z , par le mouvement d'un point dans le plan horizontal 9 quand le point z se déplace dans diverses directions, le point i^ se déplace également suivant des directions différentes; si la fonction est monogène, les courbes décrites par le point u font entre elles les mêmes angles que les courbes correspondantes décrites par le point z. En effet, soient ds et dS deux éléments correspondants décrits par les points z et li , on a

(dsy = {dx)'-h (dYy

/c/X^ dX^\' fdY ^ dY ^ y et si les conditions (i) sont remplies,

En posant, pour abréger,

dxy

dx)

oû en déduit

^/S = \ds.

lO LIVRE PREMIER.

G)nsidéroiis maintenant deux triangles infiniment petits 1 formés par des éléments corespondants, les côtés étant p^opo^ tionnels, les angles sont égaux.

% Pour montrer une application de ce théorème , considérons la fonction

Il = ces z ;

les fonctions réelles

satisfont aux conditions (i), puisque la fonction u est monogène. Supposons que le point z se meuve parallèlement à Taxe des a:, et ensuite parallèlement à Taxe des j^, le point u décrira deux séries de lignes orthogonales; ces lignes ont pour équations

cos^x sin'-c ce sont des ellipses et des hyperboles homofocales.