CHAPITRE
PROPRIÉTÉS DES SÉRIES ORDONNÉES SUIVANT LES PUISSANCES ENTIÈRES ET CROISSANTES DE LA VARIABLE.
H. Lemme. — Lors qu on multiplie les termes d'une série convergente ayant tous ses termes positifs^ respecti\^ement par des nombres quelconques j mais qui n^ augmentent pas à l'infini y on obtient une noui^elle série convergente.
Soit
une série convergente ayant tous ses iermes positifs*, si l'on multiplie les termes de cette série par Iccs nombres
qui n'augmentent pas à l'infini, on obtient une nouvelle série convergente
^0 ^^'o -i- ff\if\ 4- (ti h.i-{- . , . ,
En effet, prenons m termes »i partir du terme de rang /z, la somme
«/i hn -f- «B-l-l ^«-hl ... -H Ûfii4-m-l ^«+«-1
égale évidemment la somme
multipliée par une moyenne entre les quantités
La série proposée étant convergente, la dernière somme a pour limite zéro, si grand que soit m , quand on fait augmenter n indéfiniment. D'autre part, les nombres par lesquels on multiplie^ et par conséquent leur moyenne, conservent des valeurs finies \ donc la première 'somme a aussi pour Kraite zéro, et la sfeconde série est convergente.
12. Théoremb I. — Étant donnée une série ordonnée sui^ ^ant les puissances entières et croissantes d*une variable imaginaire, si^ pour une valeur de la variable dont le module est R, les modules des termes de la série n augmentent pas à Vinjini, la série sera conv^ergente pour toutes les valeurs de la variable dont le module est plus petit que R.
Soit
la série proposée , dans laquelle z désigne la variable imaginaire. I/o, Wi V des coeflScients réels ou imaginaires. Appelons ^0 , ^1 ,... les modules des coefficients. Nous supposons que les modules
des différents termes de la série, pour une valeur de z dont le module est R, n'augmentent pas à l'infini. Donnons à la variable une valeur dont le module p soit plus petit que R, et considérons la série convergente
FONCTIONS défîmes PAR DES SÉRIES. l3
si nous multiplions les termes de cette série respectivement par les nombres
qui conservent des valeurs finies, nous obtiendrons, en vertu du lemme précédent, une nouvelle série convergente
Ainsi, pour toute valeur de z ayant un module plus petit que R, la série des modules est convergente, et par conséquent la série proposée elle-même (*).
13. Scolie, — Soît R le plus grand module de r, pour lequel les modules des termes de la série n'augmentent pas à Tinfini; de l'origine comme centre, avec un rayon égal à R, décrivons un cercle. D'après le théorème précédent, la série est convergente pour toutes les valeurs de z situées dans l'intérieur de ce cercle, que nous appellerons pour cette raison cercle de convergence. Elle est divergente pour tous les points extérieurs-, car si Ton donne à z une valeur ayant un module plus grand que R, les modules des termes augmentent à l'infini. Sur la circonférence même la série peut être convergente en certains points, infinie ou indéterminée en d'autres.
Il importe de bien comprendre l'existence du cercle de convergence. Que Ton imagine des valeurs croissantes du module pour lesquelles les modules des termes conservent des valeurs finies. Ou ces valeurs croissantes tendent vers une limite finie et déterminée R, ou elles augmentent à l'infini. Dans le premier cas , la limite R est le rayon du cercle de convergence ^ dans le second cas, la série est convergente dans toute l'étendue du plan.
Remarquons qu'en chacun des points intérieurs au cercle, non -seulement la série proposée est convergente , mais encore la série des modules de ses difïérents termes.
(*) Ce théorème a été démoDtpc d'une autre manière par M. Cauchy dans ses nouveaux Exercices, tome III, page 388.
l4 LIVKE PREMIER.
