Appliquons à (pielqucs exemples

La série

est convergente dans toute 1 étendue du plan.

La série i

est convergente dans le cercle de rayon i. La série est encore convergente sur la circonférence limite, excepté au point qui correspond à Targument zéro \ en ce point la somme est infinici Il peut arriver que, le p(>inL z s^éloignant du centre jusqu'à la circonférence , la somme de la série tende vers une valeur finie , et que cependant en ce ^>oint extrême la série soit indéterminée. Considérons , par exemple , la série

iH- z -h 3' + . . .

convergente dans le cercle de rayon i. Posons

et, laissant l'argument constant, faisons croître le module p jusqu'à Tunîté. La somme de la série tend vers une valeur

finie et déterminée —^ excepté quand = o, et cependant

pour 5 = e Ma série a une somme indétei minée.

Lorque le rayon du cercle de convergence se réduit à zéro, la série n'est convergente pour aucune valeur de la variable, excepté pour z = o^ il en est ainsi de la sér:e

15. Théorème IL — Une série ordonnée suwant les puis^ sances entières et croissantes de la variable, est une fonction continue dans r intérieur du cercle de coni/ergence.

Désignons farf(z) la somme de la série

FONCTIONS DÉFINIES PAU DES SÉRIES. l5

que lious supposons convergente dans F intérieur du cercle R. Appelons (p (z) la somme des n premiers termes de la série, ct({^ (z) le reste; nous aurons

Derorigîiie comme centre, avec un rayon R' un peu plus |>elit que R , décrivons un cercle. On peut assigner une valeur de n telle, que, pour cette valeur et pour toutes les valeurs plus grandes, le module du reste ^ (z) soit constamment plus petit qu^une quantité très-petite donnée oc , dans rintérieur du cercle R'. Il suffit, pour cela, de prendre n tel, (pie l'on ait

û^R'" -+■ rt"+' R'«+' -h . . . <a :

ce qui est possible, puisque la série

est convergente. Pour tout module p plus petit que R', on aura, à plus forte raison ,

«/iP" + «""*"• p""*"' 4- . . . <a.

Le module du reste ^ (z) étant plus petit que cette somme, sera lui-même moindre que a.

Supposons maintenant que nous donnions à la variable deux valeurs voisines z et zf comprises dans l'intérieur du cercle R', la fonclion prendra les deux valeurs

/(z) = ,f{z)+^{z), /{z')=,f{z')+^(z'), dont la différence est

Le polynôme entier (f (z) étant une fonction continue de la variable z , nous pouvons prendre la différence z^ — z assez petite pour que la variation (f(z^) — a> (z) du polynôme ait un module plus petit que a. Mais les modules des restes ^ (z') et 'i(z) sont déjà pluspetitsquc a; donc la variation/* (^') — f(z) aura un module plus petit que 3 a. Cette variation pourra

l6 LIVRE PIIEMIER.

donc éire rendue plus petite qu'une quantité donnée, si petite] qu'elle soit. Ainsi la fonction , définie par la série, varie d'unel manière continue dans l'intérieur du cercle de convergence. Il i est évident, d'ailleurs, que cette fonction est monodrome dam le même cercle, puisqu'elle n'a qu'une valeur pour chaque valeiu* de z,

16. Théorème III. — Une série ordonnée suivant les puissances entières et croissantes de la variable est une Jonction monogène dans Vintérieur du cercle de convergence.

Soit la série

convergente dans le cercle de rayon R. Nous allons démontrer d'abord que la série

w, H- 2 WjZ 4- 3 «3 z' -h . . . , ]

obtenue en prenant la dérivée de chacun des termes, est convergente dans le même cercle. De l'origine comme centre, avec un rayon R' un peu plus petit que R, décrivons un cercle, et donnons à z une valeur dont le module p soit plus petit queB'' Si Ton multiplie les termes de la série convergente

respectivement par les nombres

qui n'augmentent pas à l'infini , on obtient une série convergente

rt, -h 2 rt, p -h 3 ^3 p2 -4- . . . .

Ainsi, la nouvelle série est convergente dans le même cercle que la première.

La série proposée étant représentée par/*(<3), nous représenterons par/' (^) la série obtenue en prenant la dérivée de chacun des termes de la première, par/' [z) la série obtenue en prenant la dérivée de chacun des termes de la seconde, et