FONCTIONS DÉFINIES PAR DES SÉRIES. I

linsi de suite. Toutes ces séries sont convergentes dans le cercle le convergence R de la série proposée.

Nous allons démontrer, maintenant, que la série/'(z) est a dérivée de la fonctiony(z).

Si l'on donne à la variable z un accroissement A, on a

i) /(3-hA) = ifo-4-«i(«-f-^)-4-«2(2 4-^)'-+-

appelons p le module de z , A celui de h ; la série

» «'e -H «• (P -H ^0 -H fl,(p -+-/•)' + ...

est convergente, tant que p-h A est plus petit que R, ou A plus petit que R — p. Développons les binômes et ordonnons par rapport aux puissances de A , de manière à disposer les termes dans l'ordre suivant :

I(flto-+-flipH-«ïp' -4-.. .) -♦-(«,+ 2ri,p H- 3flf3p^.. )--+-(.. .) H-

Les termes partiels de la série (2) étant tous positifs et ayant une somme finie, la série (3), qui se compose des mêmes quantités mises dans uii autre ordre, est aussi convergente, et offre une somme égale. On observe , en effet , que la somme des n premiers termes de la série (3) contient les n premiers termes de la série ( 1) , plus d'autres termes qui appartiennent aux termes suivants de la série (2), et qui, par conséquent, ont une somme infiniment petite pour les très-grandes valeurs de «5 ces sommes des n premiers termes des deux séries , ayant une différence infiniment petite , tendent vers la même limite.

En développant de même la série ( 1 ) , et ordonnant suivant les puissances croissantes de A, nous formons la série

qui est aussi convergente, et qui a même somme que la série (1)5 car la différence entre la somme des n premiers termes de la série (4) et la somme de n premiers termes de la série ( 1 ) , ayant un module plus petit que la différence des deux sommes

l8 LIVUE PllEAJIEll.

correspoudâiiles dans les séries (a) cl (3), a pour limite zéro. On a donc

f{z + h) =/{z) +/' {z) * +/" (8) il +. . . ;

on en déduit

La série convergente, écrite dans le second membre, est une fonction continue de la variable A. Si h est très-petit, elle diflëre infiniment peu àef'[z)^ et, quand h tend vers zéro, elle a/' («) pour limite. Donc

^J{^^h)-Az)

Ainsi la série/*( z) admet une dérivée imique/' ( z) , quelle que sQit la direction du déplacement h. Cette série est donc une fonction monogène.

17. En résumant ce qui précède, on voit qu'une série ordonnée suivant les puissances croissantes d'une variable est une fonction continue^ monodrome et monogène, dans Tintérieur du cercle de convergence. En un mot, c'est une fonction syncctique dans le cercle de convergence.

Nous citerons comme exemples les séries

par lesquelles on définit les trois fonctions

è*y sinz, cosz,

irès-usitées dans l'analyse. Le rayon du cercle de convergence étant infini, ces trois fonctions sont fiuies, continues, monodromes et monogènes, dans toute l'étendue du plan-, ce

FONCTIONS DÉFINIES PAR DES SÉRIES. Ip

ont des fonctions synectiques dans toute l'étendue du plan. 18. Une double série

adonnée suivant les puissances entières positives et n^atives, t se prolongeant à Finfini des deux côtés, peut être considérée omme la réunion de deux séries ordinaires

Soient R le rayon de convergence de la première série, —

:elui de la seconde quand on prend - pour variable. La première série est convergente dans le cercle de rayon R, la seconde pour toute la partie du plan extérieure au cercle de rayon R\ Donc^ si R est plus grand que R^ la double série sera convergente dans la couronne comprise entre les cercles R' et R, et dans cette étendue elle représentera une fonction synectique.

Par exemple, la double série

est convergente dans la couronne comprise entre les circonférences de rayons i et 2 .

La double série

... H 1 hiH 1 h...

est convergente dans toute l'étendue du plan, excepté au point