CHAPITRE ill

DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS EN SÉRIES ORDONNÉES SOIVA LES PUISSANCES CROISSANTES DE LA VAR/ABLE.

19. Soit/(z) une fonction finie, continue, monodrome i monogène, c'est-à-dire une fonction synectîque, dans une ( taine portion du plan. Considérons les valeurs de l'întégp définie

f{z)dz,

quand on va du point z^ au point Z par deux chemins, z^{ et ^0 DZ [fig, 4), très-rapprochés l'un de l'autre, et sio dans la partie du plan dont il s'agit. A chaque point m de 1 première courbe faisons correspondre un point n de la seconde! Fi{T. 4. courbe , de manière que le pointai

se corresponde à lui-même ai que le point Ta\ désignons par It lettre d un déplacement infiniment petit sur Tune des courbes, et par.

la lettre à le déplacement de m en n. Si Ion va d*un point m d^ la première courbe à un point voisin ni! de la même courbe, la fonction éprouve un accroissement marqué par /^(z). La fonction^ étant monodrome, prendra au point n la même valeur, quand on suivra le chemin z^mn au lieu du chemin z^ D«^ il en résulte que la valeur de la fonction au point n dans la seconde intégrale diffère de la valeur de la fonction au point m dans la première intégrale d'une quantité égale à la variation de celle fonction correspondant au déplacement mn , variation marquée par cî/*(z). D'autre part , la fonction étant monogène, c'est-.i-dire admettant la même dérivée pour les deux dépla" iTments mnJ et mn , on a

df[z)=f'(z)dz, df{z)=f'[z)àzy

DÉVELOPPEMENT DES f-OWCTIOJSS EN SÉRIES. 21

d'où Ton déduit

(i) ' S/(z).dz = 4f{z)Jz.

Cela posé, calculons la variation de Tinlégrale définie, quand on remplace le chemin ^^ GZ par le chemin infiniment voisin Zq DZ. On a

S I /{z)dz= I [$/{z).iiz-h/(z).dSz];

^ f^/(z)dz= r

en vertu de la relation ( i ) , cette expression devient •z

[d/{z).Sz+/(z).dSi],

ou, plus simplement,

''d\/(z)Sz]=.\/{z)Sz]^

Les deux points extrêmes étant fixes, ôzq est nulle, ainsi que JZ ^ donc la variation de Tinlégrale définie est nulle.

20. Considérons maintenant deux lignes quelconques allant d'un point à un autre et comprenant entre elles une portion finie du plan dans laquelle la fonctiony(2) reste finie, continue, monodrome et monogène , il est clair que ces lignes conduiront à la même valeur de l'intégrale définie ^ car on peut passer de Tune de ces lignes à l'autre par une série de transformations qui n'altèrent pas la valeur de l'intégrale définie, H en résulte que, si la fonction /*(z) est synectique dans ^^g- ^' la portion du plan comprise dans une

courbe fermée , Tiatégrale définie, obtenue en parcourant ce contour , est nulle.

En effet , l'intégrale le long de Zq AZ {fis* 5) ^*^ ^^ même que suivant ^ol^Z; or , quand le point Z vient en z^ , cette dernière intégrale est évidemment nulle.

De même, si la fonction^ (^) est synectique dans la portion du plan com|)rise entre les deux courbes fermées ABC, A'B'C {fis* 6)^ les intégrales correspondantes à ces deux contours

sont égales. En effet, le chemin A'B'CA' peut êlre rem- Fig. 6. placé par le chemin A' ABC A A';

mais les portions d'intégrale oblenues en parcourant la ligne A'A, d'abord de A' en A, puis, à la fin, en sens contraire, sont évidemment égales et de sigties contraires; donc les deux contours ABCA , A'B'C'A', donnent la même intégrale définie.

Ces théorèmes remarquables sont du3 à M. Cauchy (* ) ; nous

en avons reproduit la démonstration^ afin de bien préciser les

hypothèses sur lesquelles elle repose.

21 . Lorsque la fonction /(2) est synectique dans une certaine portion du plan , Tinlégrale

f{^)dz.

calculée à partir d'un point z^ et prise le long d'une courbe quelconque tracée dans cette partie du plan , est aussi une fonction synectique dans la même étendue. On voit d'abord que la fonction est monodrome, puisque tous les chemins, qui vont du point z^ au point z , conduisent à la même valeur. lï est facile de démontrer qu'elle est aussi monogène. Désignons par F(-z) cette fonction nouvelle; si nous donnons à la variable z un accroissemuent A, la fonction éprouve l'accroissement

/(s) rfa = [/(,)-).*] A,

la quantité e s'annulant avec h. On en déduit

{*) Contplcs / indus de l'AcadémU' des Sciences; i8/|6.

DÉVELOPPEMENT DBS FONCTIONS EN SÉRIES. a3

AÎAsi la fonction F (5;) a une dérivée unique /(z) , quelle cjuc soit la direction du déplacement^ c'est donc une fonction mof- Dogène.

22. Le développement en série n'offre plus aucune difficulté.

Soit J (z) une fonction finie, continue, monodrome et monogène, dans Tinlérieurd'un cercle décrit de l'origine comme centre avec un rayon R

(fis- 7)M^ d" quelle est développable en série ordonnée suivant les puissances de z et convergenle dans le cercle

de rayon R. Soit t un point fixe pris à volonté dans l'intérieur

du cercle^ la fonction

dans laquelle nous regardons z comme la variable, jouit des mêmes propriétés que la fonction y (z) dans riutérieur du cercle R ; elle est évidemment finie, continue, monodrome et monogène, comme la fonction /{z)- On pourrait craindre cependant qu'elle ne devint infinie pour la valeur particulière zz=:t qui annule le dénominateur; pour éviter cet inconvénient, nous supposerons d'abord qu'au point / la dérivée /' (z) de la fonction proposée a une valeur finie \ si l'on donne à z une valeur voisine de f, la fonction

/U)-At)

différant très-peu de la quantité finie /'(^), aura elle-même une valeur finie et sera continue. Ainsi la fonction

M LIVRE TREMIER.

est finie et continue eu tous les poiuts situés à riiitéricur da cerele sans .exception.

Du point O comme centre, avec un rayon r pluagrasd que Of , mais plus petit que R, décrivons un second cercle. Il résulte du théorème précédent que l'intégrale définie

obtenue en parcourant la circonférence r, est nulle j on en déduit

les intégrales étant prises le long de la même circonférence j et si l'on fait sortir du signe / le facteur constanty(f)5

La fonction ne devenant infinie quej)Our la valeur z =(»

on peut dans l'évaluation de l'inlégrale

remplacer la circonférence r par une circonférence décrite du point t comme centre aycc un rayon infiniment petit p. Posons

le rayon p étant constant et Tanglc Q seul variable, on a

^^ z— t l'intégrale devient

dQ = 2Tri.

On a donc

DÉVELOPPEMEJNT DES FONCTIONS EN SÉRIES. sS

celte dernière int^rale ëtant prise sur la circonférence /•, et en tournant de Ox vers Oy. Mais quand le point z parcourt la circonférence /*, le module de z reste constamment plus grand que le module de f ^ on peut donc développer la fraction

en une série convergente ordonnée suivant les puissances crois^ santés de £ , ce qui donne

donc

Chacune des intégrales délBnies qui entrent dans le second membre, étant prise le long d'un contour fini ;*, a une valeur finie et déterminée, et la (oiicûon f(t) se trouve ainsi développée en une série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes de ^ En appelant i/q, iXi, i/j,. . . les coefficients de la série , on a

Si l'on pose un coefficient quelconque est donné par la formule

dans laquelle r désigne un rayon arbitraire plus petit que 1^ rayon R du cercle de convergence.

23. Le point t est un point quelconque intérieur au cercle de rayon R ^ ainsi la série représente la fonction proposée y (^) en tous les points du cercle, excepté toutefois les points où la dérivée/' (t) serait infinie ou discontinue : mais celte reslric-

â6 LIVRE PREMIER.

tion est inutile. En effets nous avons démontré (n^ i5) qu une série, ordonnée ooxiinela série (i), est une fonction continue de la variable r, dans le cercle de convergence, sans exception ; la fonction /(r) et la série, étant continues dans toute retendue du cercle, et égales en tous les points, excepté en certains ' points particuliers, ne peuvent différer même en ces points. Donc le développement s'applique à tous les points du cercle sans exception.

La fonction/ (f) et la série étant égales, leurs dérivées sont égales , et l'on a

/' (r) = «, + 2 tf,^-4- Swa/* 4- . . .

pour tous les points du cercle de convergence (n° 16).

On voit par là que la déçivée/' (t) de la fonction proposée reste finie et continue dans le cercle, et que, par conséquent,, il est impossible qu'elle devieime infinie ou discontinue en aucun de ses points. Ainsi la circonstance que nous avons écartée dans la démonstration ne peut pas se présenter.

De ce qui précède résulte le beau théorème de M. Cauchy, que nous énoncerons de la manière suivante :

24. Théorème. — Pour qu une fonction soit développable en une série ordonnée suivront les puissances entières, positives et croissantes de la variable^ et conv^ergente dans un cercle décrit de V origine comme centre y il est nécessaire et il suffit que la fonction soit synec tique, c'est-à-dire soit finie ^ continue^ monodrome et monogène y dans ce même cercle.

Ces conditions sont nécessaires, car nous avons démontré (n° 17) qu'une série, ordonnée suivant les puissances c]?oissantes de la variable , est une fonction synectique dans le Cercle de convergence. Elles sont suffisantes; car nous venons de démontrer que, lorsqu'une fonction est synectique dans un cercle de rayon R , elle est développable en une série ordonnée suivant les puissances croissantes de la variable et convergente dans le même cercle. 11 est d'ailleurs impossible de les réduire à un moindre nombre; les explications que nous avons don-

DÉVELOPPEMEN^r DES FONCTIONS EN SÉRIES. 1ÀJ

nées au commencement de re Mémoire font voir, en effet, qu^une fonction peut être finie et continue sans être monodrome, monodrome sans être monogène, ou monogène sans être monodrome.

25. Une fois établie la possibilité du développement, il est facile de déterminer les coefficients. Reprenons, en effet, la série (i), dans laquelle nous remplaçons t par z,

(a) /(z) = Uo H-a.z-l- ajz'-h i<,z»H-. .. .

La fonction et la série étant égales dans le cercle R , leurs dérivées des différents ordres sont égales dans le même cercle. On a donc

/' (a) = a, -h 2 a, z = 3 «3 2* 4- . . . , /''(«)= I .2 II, 4- 2, à «3 2 -+-... , /'"(z) = I -2. 3 «3-1-2. 3.4 "42-+-. . .,

Ces diverses séries sont toutes convergentes dans le cercle R et continues ; si l'on y fait 2 = o , on a

ll.=:/(0), «.=/'(o), l.2/l,=/"(o), I.2.3/l3=/*'(o),...,

et Ion obtient ainsi la série de Maclaurin,

Nous avons exprimé les coefficients de la série de deux manières , par des int^rales définies et au moyen des dérivées de la fonction. La comparaison des deux développements donne la formule

/•(«) = •^-^~pr~/'V(re«0^~"^'^ô.

La série de Taylor s'en déduit aisément :

Si la fonction f [z) est sjnectiqiie dans un cercle iiécrit autour du point z© comme centre^ elle se dév^eloppe en une série ordonnée suivant les puissances croissantes de s — z^

et convergente dans le même cercle^ et Ton a

(5) /(.)=/(,.)+/'(^)î^'+/''(Mii=^+....

En remplaçant z^ par z et z — Zq par h , on obtient la série deTaylor sous sa forme habituelle 1

(6) /(. + A)=/(2)+/'(ï)^+/"{z)^+..., et la formule (4) devient

(7) /'•i^}='-^j;^ f'y{z + reei)e-neido,

r étant un rayon arbitraire plus petit que le rayon du cercle de convergence relatif au point z,

application à quelques exemples^ 26. Soit une fraction rationnelle

Marquons les points A, B, C, . . . qui annulent le dénominateur, et qui, par conséquent, rendent la fonction infinie. Soit A celui de ces points qui est le plus rapproché de l'origine; du point O comme centre, avec un rayon égal à OA, décrivons un cercle 5 la fraction rationnelle sera développable ,^ dans ce cercle , en une série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes dez. Dès que Ton sort du cercle, la série est divergente, car la fonction devient infinie au point A.

De même , si d'un point Zq , pris arbitrairement dans le plan , avec un rayon égal à la distance de ce point à celui des points A , B , G , . . . qui en est le plus rapproché , on décrit un cercle , la fonction sera développable , dans ce cercle, en une série convergente, ordonnée suivant k»s puissances croissantes de

DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS EN SÉRIES. 2g