La fonction

6'Sin«

étant finie, continue, monodrome et monogène, dans toute rétendue du plan, est développable en une série ordonnée suivant les puissances de z , et convergente dans toute Tétendue du plan.

La fonction

est discontinue ou indéterminée pour ^ = i • car elle devient infinie, ou nulle, ou indéterminée au point z = i , suivant le chemin qu'on suit pour y arriver 5 elle est donc développable dans le cercle de rayon i . Il en est de même de la fonction

(jui devient indéterminée au point z = i, 28. Soit la fonction irrationnelle

comptée à partir de z = o, avec la valeur initiale -f- i. Nous avons vu (n*' 3} que cette fonction cesse d'être monodrome quand on tourne autour du point z = — i ; elle sera donc développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes de z. dans le cercle décrit de l'origine comme centre, avec un rayon égal à Tunité. Il en sera de même d une fonction implicite u définie par une équation algébrique entre 11 et z et comptée à partir du point z avec la valeur initiale I/o (n° 4). Si du point Zq comme centre, avec un rayon %al à la distance au point le plus proche pour lequel Téquation a des racines égales et la fonction cesse d'être monodrome, on :lécrit un cercle, la fonction sera développable dans ce cercle en une série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes de z — Zq.

3o LIVRE PREMIER.

La fonction transccndanle

log(H-z),

comptée à partir de z = o , avec la valeur initiale zéro ( n® 8) . devient infinie, et cesse d'être monodrome, au point ^ = — i; elle sera donc développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes de z , dans le cercle décrit de l'origine comme centre , avec un rayon égal à l'unité. La fonction

a = a:' -h /' -h 2 xyi ,

n'étant pas monogène, n'est pas développable. 29. Considérons enfin la fonction

w = sin z -h > (.«'-+- /^ — I ),

dans laquelle la lettre X représente la valeur de l'intégrale définie

2 / *^sin/ / ^ \ ^

obtenue en donnant à t des valeurs réelles de o à c» On sait que l'intégrale définie

sint

cosgtat

est constamment égale à l'unité quand le nompre g est moindre que I , et qu'elle est constamment nulle quan^ le nombre g est plus grand que f. De l'origine comme centre, avec un rayon égal à l'unité, décrivons un cercle; le facteur X sera nul tant que le point z restera dans le cercle, et il deviendra égal à l'unité pour tous les points extérieurs. La fonction est finie, continue et monodrome, dans toute l'étendue du plan ; elle est monogène dans le cercle de rayon i , puisque la seconde partie se réduit à zéro dans l'intérieur du cercle; mais, hors du cercle, elle n'est plus monogcne, parce que la seconde partie X* -i- }'* — I n'est pas monogène. On en conclut que la fonction

DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS EN SÉRIES. 3l

est développable en série convergente dans le cercle de rayon ^al à Tunité.

Les exemples précédents montrent que la limite de convergence de la série est déterminée, tantôt parce que la fonction devient infinie ou discontinue, tantôt parce qu'elle cesse d'être monodrome, tantôt parce qu'elle cesse d'être monogène.

30. Théorème II. — Lorsquune fonction est synectique dans la portion du plan comprise entre deux cercles ayant pour centre Forigine des coordonnées, elle est développable en une double série ordonnée suivant les puissances entières, positives et négatives y de la variable, et convergente dans cette portion du plan, Nous supposons la fonction/' [z) synectique dans la portion Fig. 8. du plan comprise entre

les deux circonférences R et R' décrites de l'origine comme centre, R étant plus grand que R'.

Soit t un point quelconque de cette couronne (fig' 8) 5 du point O comme centre décrivons deux cercles, l'un avec un rayon r plus petit que R, mais plus grand queO^, l'autre avec un rayon f'plus petit que O/, mais plus grand que R'. L'intégrale

dz.

obtenue en parcourant chacune des deux circonférences dans le même sens , a la même valeur. En distinguant par les indices rei / ces deux intégrales définies , on a

dz:

32 LIVBE PREMIER.