DÉVELOPPEMENT DES FONGTIOMS EU SÉRIES

dans laquelle

Celte extension du ihéorèine de M. Cauchy a été indiquée parle capitaine Laurent.

31 . Il est facile d'étendre les théorèmes précédents aux fonctions de plusieurs variables indépendantes. Soit^ (x, j^, ^) une fonction de trois variables imaginaires x, j^, z, finie, continue , monodrome et monogène , quand chacune des variables reste comprise dans une certaine portion du plan. Donnons à x, y, z des accroissements A, A, /; la fonction f(x-hh^y-^kyZ-hl) est finie, continue, monodrome et monogène, tant que les variables h^ h^ l restent comprises respectivement dans des cercles de rayons R, R', R", décrits des points x^ y ^ z comme centres.

Posons

u:=X'hthy V z=z j- •^- tk y w^=z z -h tl,,

t désignant une variable dont le module est plus petit que l'unité. La fonction/(a, \^, w) est une fonction synectique de /, quand la variable t se meut dans le cercle de rayon x, décrit de Torigine comme centre *, elle est donc développable , dans cette étendue, en une série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes de f, et Ton a, en désignant par F (t.) cette fonction,

Mais on a symboliquement

F" (0 = (AD./+ -! D./-H ' D«./)% d'où

■ F«(o) = (AD,/+ XD^/+ /D./)».

Si l'on remplace F" (o) par sa valeur et que l'on fasse t = i ,

Oïl obtient la série

l /(^ 4- ^, r + ^, 3 .-h /) =/(.r, j, z) (9) , y^ (AP./-h^P,/4-/D,/)" ^

ordonnée suivant les puissances croissantes de /t, k^ l, et convergente dans les cercles de rayons R, R', R''.

Les coefficients s'expriment aisément au moyen d'intégrales définies. En effet, si dans la formule (7)

on fait

on a

rv '

Celle-ci donne pareillement

(îo)^ -FJ^^^

Xf I 1 /{x-hrcOi,y-^r'eO'i,z-^r"re"i)e-"Oi-n'0'i-n''0''idOS'