CHAPITRE IV

32. Théorème I. — Lorsqu'une fonction est synectique dans une certaine portion du plan , toutes ses dérivées sont auss des fondions synectlques dans la même étendue.

Soit Zçi un point quelconque pris dans celte portion du plan . nous avons démontré que la fonction y)roposée/*(s) se dévc-

loppe en une série convergente

dans un cercle décrit du point Zq comme centre avec un rayon convenable. On en déduit

Celle série étant convergente dans le même cercle , la fonction/' (2) est synectîque dans ce cercle; et, comme le point -Zopeut être pris arbitrairement dans la portion du plan pour laquelle la fonction/ (^) est synectique, la fonction / ' ( z) jouit (le la même propriété dans toule cette étendue.

Le théorème étant démontré pour la première dérivée, s'éleiid évidemment à toutes les autres.

33. Corollaire I. — Une fonction synectique ne peut être constante dans une portion finie du plan, si petite (ju elle soit.

Soit Zo un point situé dans cette portion du plan \ la fonction étant constante dans le voisinage du point z^^ toutes ses dérivées sont nulles en ce point , et la série de Taylor se réduit à

lien résulte que la fonction est constante dans le cercle de convergence décrit du point z^ comme centre. Que Ton répète le même raisonnement pour un autre point du cercle, et Ton démontrera ainsi de proche en proche que la fonction reste constante dans toule l'étendue du plan pour laquelle la fonction est synectique.

Il en serait de même si la fonction était constante le long d'une ligne, si petite qu'elle soit.

Corollaire II. — Une Jonction syticctique ne peut avoir toutes ses dériv^ées nulles en un point.

Si cela avait lieu , la fonction serait une constante,

34. Théorème II. — Lorsqu une fonction synectique dans iine cenaine porfion du plan s^ annule pour une valeur z=za

comprise dans celle porlion du plan, elle esl dmsible par {z — a)", n désignant un nombre entier fini.

En développanl , d'après la série de Taylor, ou a en effet .

d'où Ton déduit

l.e quotient — • — > étant développé eu série convergente dam

un cercle décrit du point a comme centre, est une fonction synectique dans le voisinage du point a, et par conséquent dans la même étendue du plan que la fonction proposée. Si Ton représente par (f (z) cette fonction, on aura

Si la quantité a n'annule pas f (z), on dit que a est racine simple de l'écjuation ^ (s) = o. Mais si a annule la fonction / (z) et ses (tî — i) premières dérivées, on a

et le quotient

(z^aY

est une fonction synectique dans la même étendue que la fouciion f(z). Si Ton représente ce quotient par ^ (-e), on a

Dans ce cas, on dit que la racine a est du degré n de multiplicité.

Le nombre des dérivées qui s'annulent pour z — a étant nécessairement tini, toute racine est d'un degré fini et entier de multiplicité.

35. Scolie. — Dans une portion finie du plan, Téqua- \.\oi\f[z) = o n'admet qu'un nombre fini de racines 5 car, si

elle eu admettait une infini të, les points qui correspondent aux racines seraient infiniment rapprochés les uns des autres et la fonction nulle en ces points infiniment rapprochés, ce qui est impossible.

Si l'on appelle a, ft, c,..., / les racines, la fonction y(^) s'écrira

^(z) étant une fonction synectique qui ne s'annule pas dans la portion du plan considérée.

36. Théorème III. — Quand une fonction f (z), monodrame et mono gène ^ devient infinie pour z = a, quelque soit le chemin suivi pour arriver à ce points on peut la mettre sous la forme

la fonction ^ {z) étant monodrome et monogène et ne devenant pas infinie pour z = a.

En efiÎBt, dans ce cas, la fonction -jrr-i devenant nulle pour

z= a^ et restant finie et continue, on a

d'où Ton déduit

La valeur a est un infini du degré fini et entier n de mulli- . plicité.

Si Ton développe la fonction X (^) ^^ série suivant les puissances croissantes de (;8 — a), la fonction proposée s'écrit

"^ (z) désignant Une fonction monodrome et monogène qui ne devient plus infinie pour ^ = a.

Pour que la fonction jouisse de ces propriélés, il est nécessaire qu'elle devienne iuGnie pour z = a, quel que soit le chemin suivi pour arriver en ce point. Ceci n'a pas lieu pour la

fonction e% qui, lorsque z = o, devient nulle, ou infinie, ou indéterminée, suivant le chemin suivi.

37. Théorème IV. — Une fonction^ monodrome et mono^ gène dans toute V étendue du plan, déifient nécessairement infinie pour une valeur finie ou infinie de la variable.

Appelons M le maximum du module de la fonction f(z) dans le cercle de rayon r décrit autour de Torigine ; si dans la formule (n°25)

/-(o)^i^jr'V(;.^').-«^'-^(),

nous remplaçons chaque élément de Tintégrale définie par son module, ou par un module plus grand M<i6, il est évident que

ou que 2 TT M, et nous aurons

mod/^ (o)<; 1 .2.3. . .« — •

Supposons maintenant que la foncliouy (z ) ne devienne infinie pour aucune valeur finie ou infinie de z^ c'est-à-dire que le module de la fonction reste moindre qu^une quantité finie M dans toute Tétendue du plan. Dans ce cas, on pourrait prendre le rayon /• infiniment grand» et Ton aurait, en vertu de la

formule précédente,

La fonction, ayant toutes ses dérivées nulles, serait une constante. Si donc la fonction n'est pas une constante, elle doit devenir infinie, soit pour une valeur finie, soit pour une valeur infinie, de la variable z, \

38. Corollaire I. — Une fonction^ monodrome et monogène dans toute rétendue du plan, déifient nécessairement nulle pour une valeur finie ou infinie de la variable.

PROPniÉTÉS GÉJMÉRALES DES FOIUCTIOJNS. 39

Car si la fonction /^( 2) ne devenait pas nulle, la fonction -— . ne deviendrait pas infinie \ ce qui est impossible.

Il peut arriver que ]a même valeur de z rende une fonction à

la fois nulle et infinie. Ainsi la fonction e* devient infinie quand le point z vient à l'origine par un chemin situé à droite de Taxe des /, et nulle quand le point z vient à Torigine par un chemin situé à gauclie de Taxe des y. De même la fonction e* devient nulle ou infinie pour des valeurs infinies de z.

CoROLLAïKE II. — Une fonction^ monodromeet rnonogène dans toute rétendue du plan, acquiert toutes les valeurs possibles.

La fonction/ (2;) acquiert nécessairement la valeur A , car la fonction f(z) — A prend la valeur zéro.

39. Théorème V. — Deux fonctions monodromes et monogènes, qui admettent les mêmes zéros et les mêmes infinis ^ chacun au même degré de multiplicité, sont égales ^ à un facteur constant près.

Soient f[z) et F (z) les deux fonctions proposées. Le quotient

de ces deux fonctions, ne devenant ni nul, ni infini, est une (oiistante. Rn désignant par A cette constante, on a

FW = A/(z).

Scolie. — 11 résulte de là qu'une fonction est complètement définie, à un facteur constant près, quand on connaît ses zéros et ses infinis. C'est par le nombre et la distribution des zéros et des infinis dans le plan que les fonctions se distinguent les unes des autres.

iO. Théorème VI. — Toute Jonction monodromc et mono- §ène, qui ne devient infinie que pour z = co , sans dev^enir indéterminée, est une fonction entière.

Soit u:=f[z) la fonction proposée. Posons ^ = -: la fonc-

4o LIVRE PREMIER.

tion s'écrit u =/|-j ; nous rappellerons ^ (t). Celle fonction (f (t) devient infinie pour ^ = o, sans devenir îndélerminée. En vertu du théorème III, ou peut la mettre sous la forme

La fonction f^^ (f ), ne devenant infinie pour aucune valeur de f, est une constante A„. On a donc

? ( = Tir -^ ^ -^ • • • -^ -7- "^ ^"^

et, par suite,

f{z) = Ao 2" -h A, i:"-* -h . . . + A„.i z 4- A„. Ainsi la fonction /(z) est une fonction entière du /i'*"** degré,

41 . Théorème VII. — Toute fonction monodrome et mon<h gène^ gui n admet qu'un nombre limité d'infinis, est unefrac^ tion rationne/le^

Considérons d'abord le cas où la fonction y ( z) admet n infinis simples a, i, c, . . . , /, et prend une valeur finie et déterminée P pour z= Qo .

La fonction, devenant infinie* pour z =a, s'écrira sous la forme

la fonction ^ (z) ne devenant plus infinie pour z = a. La fonction (f(z)y devenant infinie j>our ^ = i, s'écrira sous la forme

En continuant de cette manière, on arrivera enfin à un< fonction qui n'aura plus d'infini, et qui, par conséquent sera une constante P. On aura donc

La démonslralion est la morne quand il y a des infinis mu.

liples. Soit p le degré de Tiiiiiin a, q celui de t, elc. La fonction proposée pourra êlre mise sous la forme

A» Ai A^i

Bo Bi Bç i

La fonction 9 (z), ne devenant plus infinie que pour z = 00 , est une fonction entière.

En réduisant ces fractions simples au même dénominateur, on voit que la fonction u est une fraction rationnelle dont le terme le plus élevé est du degré /i, si n désigne le nombre total des infinis. A chaque valeur de u correspondent n valeurs de z, c'est-à-dire que la fonction prend la même valeur en n points du plan. Cette fonction admet aussi n zéros. Ainsi le nombre des zéros est le même que celui des infinis.

42. Théorème VIII. — Toute fonction monogène^ qui admet m valeurs pour chaque valeur de z, déifient nécessairement infinie.

Désignons par iio, Mi, Mj,."? "m-i les m valeurs que prend la fonction u pour une même valeur de z. Considérons une fonction symétrique de ces ni quantités, par exemple leur somme

«oH- a, -h «2 -h.. . 4- ««-i.

Quand la variable z décrit un contour fermé, ces valeurs de la fonction se permutent les unes dans les autres suivant une certaine loi; mais la fonction symétrique ne change pas. Cette fonction symétrique est donc monodrome. Puisqu'elle doit devenir infinie, îl faut que l'un des termes de la somme devienne infini.

i3. Théorème IX. — Toute fonction monogène, qui a m valeurs pour chaque valeur de z et qui n admet quun nomhrc Imité d'infinis, rsl racine d'une équation algébrique.

4^ * Ll%mE PREMISm.

Représentons toujours par u», «,, u,,..., u«,.i les m valeurs de II, et considérons les fonctions s\inétrique8

savoir, la somme des m valeurs, la somme des produits deux à deux, la somme des produits trois à trois, etc., enfin le produit des m valeurs. Chacune de ces fonctions symétriques , étant monodrome et n*ayant qu^un nombre limité d'infinis^ est une fraction rationnelle en z. La fonction u satisfait donc à une équation algébrique du degré m, dont les coefficients sont des fractions rationnelles en z.

Cette équation est irréductible; car si la fonction u satisfaisait à une équation de degré moindre, elle n'aurait pas ni valeurs.

Corollaire. — Une Jonction définie par une équation algébrique irréductible du m''*"* degré prend m valenrs pour chaque valeur de la variable.

On part de la valeur z = z^ avec une certaine valeur initiale <i = £/o , et Ton suit , pour aller à un point quelconque du plan , soit le chemin rectiligne , soit des lignes comprenant un ou plusieurs points pour lesquels Téquation a des racines égales. Ces chemins donneront m valeurs différentes de la fonction; car, si la fonction n'en prenait qu^ un nombre moindre, elle satisferait à une équation de degré inférieur.

MÉTHODE GÉNÉRALE POUR l' ÉTUDE DES FONCTIONS DÉFINIES PAR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

44. Les cas où l'on peut intégrer une équation difierentielle sont extrêmement rares, et doivent être regardés comme des exceptions. Mais on peut considérer une équation difierentielle comme définissant une fond ion d'après son mode de génération, et se proposer d'étudier les propriétés de cette fonction sur l'équation différentielle elle-même.

Soit

du

une équation différentielle du premier ordre ; u sera une fonction de z^ définie par la condition de satisfaire à l'équation différentielle et d'admettre une valeur initiale donnée i/o pour z = z^, M. Cauchy a démontré que si le coefficient différentiel /(m, z) est une fonction synectîque pour les valeurs de li et de z voisines de i/o et de z^^ la fonction intégrale u est elle-même synectique pour les valeurs de z voisines de Zç^, Nous donnons d'abord une démonstration plus simple de ce théorème de l'illustre géomètre , qui est notre point de départ.

15. Lemme I , -r- Soit f (x) une fonction synectique de la variable imaginaire .r, dans le cercle décrit du point Tq comme

44 LIVRE ir.

centre avec un rayon r, et sur la circonférence elle-même. Appelons M le maximum du module de la fonction f[^) dans le cercle de rayon r. Si, dans la formule (n° 25)

^ ^'^ Jo

on remplace chaque élément de l'intégrale définie par la quantité MdO plus grande que son module, on augmente évidemment le module de l'intégrale définie qui se réduit alors à 2 7rM, et l'on a

(i) mod/''(a:,X i .2. . ./i —•

46. Lemme II, — Soit /(x, y, z) une fonction synectique par rapport à chacune des variables imaginaires x^ y^ z^ quand ces variables restent comprises respectivement dans des cercles de rayons r, y^, r^ décrits des points x© , yo ^ z^ comme centres, et sur les circonférences elles-mêmes. Appelons de même M le maximum du module de la fonction dans l'étendue des valeurs considérées. Si, dans la formule (n*>31)

lf^f-^'^'fi^X,,X,, «.)= 1.2.../Î.I.2.../l'.1.2. ./î"

>, . y V-ojyo, ••;— ..^. ...... ^...'. ...-. .- ^^^^3

on remplace chaque élément de Tintégrale multiple par une quantité M rf5fl?ô'^0" plus grande que son module, on augmente le module de l'intégrale, et l'on a

j modD:7;-*""/(^.,^.,^)

,M yftC jfin"

47. Lcinmc III. — II est facile de composer une fonction (iont les dérivées partielles aient m To, /o, ^o desvalcmrs égales

FONCTIOKS DÉFINIES PAR DES ÉQUATIONS DIFFÉRETIELLES. 45

aux limites assignées pour les modules des dérivées correspondantes de la fonction proposée/* (a:, y, z).

Considérons en effet la fonction

(3) ^(x,jr^z)='

qui se développe en série convergente, tant que les différences x — jCo, y — yojZ — Zoont des modules respectivement moindres que r, /^, /". Le terme général de la série est de la forme

Si l'on prend une dérivée quelconque If^^-^" de la fonction

? (^> r^^)^^ que Ton y fasse x = Xo^y=yo, z = Zo, le terme écrit plus haut donne

elles résultats fournis par les^ autres termes s'évanouissent. On a donc

Ainsi, eu x©, ^09 -^o? les dérivées de la fonction (f sont des limites supérieures des modules des dérivées de la fonction f. Les principes, que nous venons de rappeler, sont dus à M. Cauchy. Nous allons, à l'aide de ces principes, démontrer d'une manière très-simple Texislence des fonctions intégrales.