Considérons d'abord une équation différentielle

la variable z part du point 2 = «o? la fonction u ayant une cerlaine valeur initiale w = Wq* Nous supposons que le coefficient différentiel f{z^ u) est une fonction synectiquc des

deux variables z et u dans le voisinage des valeurs 2^ et m

Pour simplifier, représentons les variables par Zo-^z et Mq-I-m^ la variable z partira alors de z=o, la fonction u ayant la valeur initiale u = o. Le coefficient diilerentiel est synec tique pour toutes les valeurs de z et de u situées dans des cercles décrits des points z^ et w^^ pris pour origine avec des rayons égaux k p et a r et sur les circonférences ellesmêmes. Nous appellerons M le maximum du module de la fonction y dans cette étendue.

Si l'équation différentielle admet une intégrale synectique, on obtiendra ses dérivées successives au moyen des équations

I du

dz du dz

■^ dtc" \dz) "^ du dz''

que Ton déduit de la première par la différentiation.

Imaginons que, dans les seconds membres, on remplace les valeurs delà fondions et de ses dérivées partielles pour z=z o et u = o par leurs modules ; la première donnera le module de

( — I ; en portant cette valeur dans la seconde, on aura une

limite supérieure du module de ( -— - j ; en portant ces valeurs dans la troisième, on aura une limite supérieure du module de ainsi de suite.

d'uX

En vertu du lemme III, les dérivées partielles de la fonction /(s, u) ont, pour z == o et /i = o, des valeurs dont les modules sont moindres que les dérivées correspondantes de la fonction