FONCTIONS DÉFINIES PAR DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. ^'J

Considérons réquatioii différeiitiellc

dz

dans laquelle nous donnons à la fonction i^ la valeur initiale vz=o pour z = o. Si cette nouvelle équation admet une intégrale synectique, On obtiendra ses dérivées successives au moyen des équations

dz =?(^''')'

ff'v d^ d(f dv dz^ dz dvdz.

d*v d*ff ^ ^ d'ff dv ^ d*if dz^ "" dz'' "^ ^ dzdvdz "^ dv'

Idvy \dz.

analogues aux équations (5), Quand on y fait z = o et m = o, la fonction ç et ses dérivées partielles prenant toutes des valeurs positives, les seconds membres sont des sommes de termes

positifs, et l'on en déduit successivement pour ( — j > ( — j ?

( — j 1 • • • 9 des valeurs positives. Ainsi la fonction v* a pour

z = o toutes ses dérivées réelles et positives. Comparons maintenant les équations (5) et (7). On voit

d'abord que le module de f — j est moindre que ( ^ ) • Les

modules des termes de la seconde équation étant moindres que

les termes de Téquation correspondante, le module de ( -^ j

est moindre que ( -^ ) ? et ainsi de suite. On conclut de là que,

si les fonctions u et v* existent, les dérivées de la première ont, pour z = o, des valeurs dont les modules sont respectivement moindres que les dérivées de la seconde.

Mais la fonction v» existe certainement \ car l'équation dif-

férentielle (6) peut èlic intégrée facilement, et donne pour équation intégrale

(8) .^^==MpL(.-i),

1^ s'évanouissant avec z. Cette équation définit une fonction implicite i^ s'évanouissant avec z, et restant synectique pour toutes les valeurs de la variable z inférieures ou égales à un certain module R que Ton peut assigner. En effet, la fonction \^ reste monodrome jusqu'au point où les deux ratines de l'équation (8) deviennent égales entre elles j ceci a

lieu lorsque la dérivée i du premier membre par rapport

à 1^ devient nulle, c'est-à-dire lorsque i^= r -, la valeur corrc»pondante R de z, valeur réelle, positive et moindre que/, est donnée par la formule

Si Ton appelle A le maximum du module de la fonction (^ dans le cercle de rayon R, on aura, d'après le lemmel,

On aura donc, à plus forte raison,

mou ( — 7— 1 <Ci\ ,7., . ,n. -—.

Il en résulte que la série

, . (du\ z (d'u\ Z^ '

ordonnée suivant les puissances croissantes de z, est convergente pour toutes les valeurs de z ayant leurs modules inférieurs à R. Car, le terme général de la série ayant un module moindre

que

/inod z\"