APPLICATION AUX FONCTIONS SIMPLEMENT PÉRIODIQUES

de rintégratiou se peproduiscnt avec le mèine signe, ce qui nous apprend que Tinlégrale A, relative au contour élémentaire (A), est égale à deux fois Fintégrale recliligne suivant Oa, Les mêmes considérations s'appliquent au contour élémentaire (B). Cela posé, tous les chemins qui vont de Torigine O à un point quelconque M peuvent être ramenés au chemin rectiligne, précédé, s'il est nécessaire, d'une combinaison quelcon- (foe des contours élémentaires (A) et (R) : i" Ceux qui se ramènent au chemin rectiligne OM, sans passer par Tun des points a ou &, donnent l'intégrale rectiligne que nous appellerons z, 2^ Ceux qui se ramènent au contour élémentaire ( A ) suivi du chemin recliligne OM, donnent pour intégrale A — z ^ car, après le contour élémentaire (A), le radical ayant changé (le signe, le chemin rectiligne donne un résultat de signe contraire — z '^ ce qui fait A — z. 3^ Les chemins qui se ramènent au contour élémentaire (B) suivi du chemin rectiligne OM, donnent de même B — z. 4° Supposons maintenant que la variable u décrive d'abord le contour élémentaire (A), puis le contour élémentaire (R), et enfin le chemin rectiligne OM ; le premier contour donnera A -, le radical ayant changé de signe, le second donnera — B^ le radical, ayant changé de signe une seconde fois, a repris à l'origine sa valeur primitive H- U^, de sorte que le chemin rectiligne fournira de nouveau la valeur z ^ en tout A — B -h 5;. En général, le double contour élémentaire (A) -f- (B)', précédant nn chemin quelconque, augmente l'intégrale de la quantité constante w = A — B; comme on peut introduire ce double contour autant de fois que l'on veut, on ajoutera à l'intégrale un multiple quelconque de w. On aurait pu revenir à la valeur initiale primiliveU^du radical, en parcourant deux fois successivement le contour (A) , ou deux fois le contour (B); mais le résultat A — A ou B — B serait nul.

Nous avons trouvé d'abord l'intégrale rectiligne z, que l'on jicut augmenter d'un multiple quelconque dew, ce qui fait une première série z -\- mtù, jNous avons trouvé ensuite une seconde valeur A — z, qui, augmentée de même d'un multiple (juelconque de m, donne une seconde série A — z -]- tu o). La

troisième valeur B — z rentre dans les séries précédentes ; car on a B — z=:A — z — w. Il résulte de là qu'à chaque valeur de 1/ correspondent deux séries de valeurs de z^ savoir z-^mtù ei A — -z+mw en progression arithmétique. Ainsi la fonction u, définie par Féquation différentielle, est une fonction de 2, synectique et simplement périodique. Dans cha» que bande la fonction passe deux fois par la même valeur, el la somme des deux valeurs de z qui dans chaque bande don-/ nent la même valeur de u, ont une somme constante A, abstrac* tion faite des multiples de la période co.