L'équation particulière

à laquelle on joint les conditions m = o et U^, = i pour z = 0, donne naissance à la fonction synectique impaire et simplement périodique, que Ton désigne par sin z, L^intégrale recti-

ligne de M = o à M = I étant égale à -? on a A = 7r : d'aillenrs

B = — A 5 donc w = 2 TT. A chaque valeur de u correspondent deux valeurs de z, dont la somme est constante et égale k%\ on a donc la relation

sin (tt — z) =z sinz, et , par suite ,

sin ( TT -4- z) :=: — sin z.

Si l'on pose

l'équation différentielle devient

u' ayant la valeur initiale iil = i pour z = o. Cette nouvelle fonction u! est synectique par rapport à z, et simplement périodique ^ on la désigne par cos z. En remarquant que dans l'équation [']) u acquiert la valeur m = i pour z = -^9 onen conclut

' . /tt \

cos 3 =: sin I z ] .

APPLICATION AUX FOKCTlOfiS SIMPLEMENT PÉRIODIQLES. 65

11 est facile d'obtenir les relations qui existent entre les foncions dont nous venons de parler. On a d'abord, en verludela <elation sîn* z -f- cos* 2 = 1,

Dx ces z = — sin z, D, sin z = ces z ;

lOU

D, (ces 3 4- / sin z) = i {cosz -4- / sin 3). Comme d'ailleurs la fonction cos z -\-i smz se réduit à l'unité pour z = o, on en conclut la relation

cos z -h / sin 3 = e".

Si l'on pose

sin z cosz

il vient

sin' z -\- ces' z

cos' z

d'ailleurs ^ s'évanouit avec z^ il en résulte cette autre relation

sin z

tanc z = •

^ cosz

Propriétés générales des fondions simplement périodiques.

57. Nous venons d'étudier diverses équations différentielles donnant naissance à des fonctions simplement périodiques. C'est ici le lieu de dire quelqyes mots des propriétés générales des fonctions simplement périodiques.

U est évident qu'une fonction simplement périodique, monodrome et monogène, devient infinie au moins une fois dans l'inlervalle de chaque période, sans quoi la fonction ne deviendrait pas infinie dans toute l'étendue du plan. Cette fonction doit aussi devenir nulle et passerpar toutes les valeurs possibles.

La plus simple des fonctions doublement périodiques est

la fonction synectique e ^ , qui admet la période w. Si l'on partage le plan en bandes égales par des droites parallèles à une même direction arbitraire menées à la distance co, la fonction reprendra périodiquement la même valeur dans chacune de ces bandes aux points correspondants, c'est-à-dire aux points situés sur une parallèle à une même direction, et à

la distaiirc o) les unes des autres. La fonction e " ne qu'une fois par la même valeur dans chaque bande; elle deviend infinie pour z = -h oo , et nulle pour z = — oo . La fonction

2 7: ri

TTZ

tang — =

ne passe comme la précédente qu'une fois par la même valeur,;! dans chaque bande. Elle n'admet qu'un seul infini simple et un seul zéjo simple dans chaque bande.

58. Au moyen d'une fonction monodrome simplement périodique (f(z) skun seul infini , on peut former une fonction simplement périodique, ayant la même période, et dans chaqucpériodci^ des infinis quelconques a, 6, y,..., et des zéros quelconques en même nombre a, 2^, c, .... Il suffit de prendre la fonction

Lorsqu'une fonction monodrome et monogène a une infinité d'infinis placés en ligne droite et à égale distance^ et une infinité de zéros placés aussi sur une ligne droite parallèle a la précédente et à même distance , cette fonction est simplement périodique. Car on peut former une fonction simplement périodique ayant les infinis et les zéros donnés, et, d'après le ihéorème V (chapilre IV, livre 1), la fonction proposée sera égale à celte fonction périodique multipliée par un rapport constant.

Plus généralement, concevons une fonction y*(z) dont les infinis et les zéros soient disposés par groupes égaux et équidistanls , suivant une même direction. Je dis d'abord que, dans chaque groupe, il y a autant de zéros que d'infinis. Supposons, en efî'et, que la fonction f{z) contienne un plus grand nombre de zéros que d'infinis^ on pourra former une fonction simplement périodique F(z), admettant tous les infinis de

J (z) et une partie des zéros : le quotient • n'ayant plus

APPLICATION AUX FONCTIOKS SIMPLEMENT PitRIODIQUES. Sj

dl'in6iiis, est constant^ donc J(z) ne peut avoir plus de zéros ïïjaeF(z). Supposons, au contraire, que la fonction /(z) ait MBoins de zéros que d'infinis, on formera une fonction simplement périodique F (z) admettant tous les zéros dej'(z) et une