partie des infinis. Le quotient ^^ n'ayant plus d'infinis, est

constant; donc y (2) a autant de zéros que F (z). Ainsi, dans

chaque groupe, le nombre des zéros de la fonctîony(z) est le

même que celui des infinis. Si maintenant on appelle F (z) la

fonction simplement périodique qui admet ces infinis et ces

f(z) , zéros, le quotient -y— étant constant, on voit que la fonclion

J'(z) est elle-même simplement périodique.

Si la fonction périodique n'était pas monodrome et prenait m 'valeurs pourcliaque valeur de z, elle serait racine d'une équation algébrique du degré m , ayant pour coefficients des fonctions périodiques monodromes; car toute fonction symétrique des m valeurs de la fonction est une fonction monodrome.

Il résulte de là que l'on peut caractériser Tordre ou le degré d'une fonction simplement périodique par le nombre des infinis qu'elle admet dans chaque ba^ide. Si elle est monodrome et admet n infinis, elle s'exprimera par une fraction ration-

nelle en e " du degré n,

59. Cherchons maintenant la relation qui existe entre une fonction monodrome simplement périodique i^ qui ne devient

27r zi

infinie pour aucune valeur finie de z et la fonction uz=zc ^' . A chaque valeur de u correspond une série de valeurs de z données par la formule z -f- m ro; mais à toutes ces valeurs de z ne correspond qu'une seule valeur de p» : ainsi p» est monodrome par rapport à u\ d'ailleurs cette valeur de \^ est toujours finie, excepté pour m = et 1/ = oo . Il en résulte que \^ est développable en une double série convergente ordonnée suivant les mJssances entières positives et négatives de u (30), ce qui 'on ne la série de Fourier.

LIVIIE II.