ORIGINE DES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES

60. Proposons-nous d'abord d'étudier la fonction déGnie par réquatioii différentielle

et la valeur initiale m = o pour z = o. Il faut encore indiquer le signe avec lequel on prend le radical pour z= o\ nous désignerons par V^ cette valeur initiale du radical. Cette fonction ne peut cesser d'être monodrome que lorsqu'elle devient infinie ou égale à l'une des quantités a^ i, c, pour lesquelles le radical s'annule. Supposons que pour z = z, la fonction u devienne égale à <2 ; si l'on pose'

on a

^ = - v/Gf«~6-^a'»)(fl — c4-«'M.

Le radical étant fonction monodrome de u', pour les valeurs de u' suffisamment petites, il en résulte que m', et par suite m, reprend la même valeur quand la variable z tourne autour du point Zx*

Mais u peut devenir infinie pour une valeur finie de z *, car l'intégrale

du

tend vers une valeur finie quand u s'éloigne indéfiniment suivant une direction quelconque. Soit donc a une valeur finie de z pour laquelle u devient infinie. Posons

zz=z a. + z ^ u =Z -y

ORIGINE DES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉIllODIQL'ES. 6g

l'équation dilTérentielle devient

— ■ = — v^Gi/(i — «*')(i — ^)(i — - cv) .

Si 1 on fait ensuite elle se réduit à

(î) J] = -^VG(i-«^")(i-6^"){.-cO,

€l Ton a i^ = o pour z* =o, La fonction i^ définie par l'équation (2) restant monodrorae dans le voisinage de 2'= o, il en «st de même de la fonction u. On conclut de là que u est une fonction monodrëme de z dans toute l'étendue du plan. Etudions maintenant la fonction inverse

<lu

sl(j[u^a)[u^b){u--ç)

Dans le plan qui sert à figurer la variation de w, marquons les trois points a, i, c (fig' 12); désignons, comme nous l'avons fait précédemment, par (A), (B), (C) les trois contours

élémentaires correspondants, et appelons A, B, C, les valeurs de l'intégrale définie relative à ces contours. Tous les chemins qui vont de l'origine à un point quelconque M du plan peuvent être ramenés au chemin rectîl igné OM, ou à ce chemin rectiligne précédé de l'un des contours élémentaires ou d'une combinaison de ces contours \ appelons z la valeur de l'intégrale rectiligne OM. Tous les chemins qui se ramènent au chemin rectiligne, sans passer par l'un des points a, ft, c, donnent la même valeur z. Supposons que la variable u décrive d'abord le contour élémentaire (A), le radical, changeait désigne, reviendra à l'origine avec la valeur — Uj>, de sorte que, si u parcourt ensuite le chemin rectiligne OM, l'intégrale prendra la valeur — z^ en tout A — z. Supposons maintenant que

yo LIVRE ir.

la variable w, après avoir décrit le contour (A), décrive ensoiti un auirc contour élémentaire ( B) ; par un second changeroei^ de signe, le radical reviendra à Torigine avec sa valeur in tiale Uq, Tintégrale ayant alors la valeur A — B : si l'on marc ensuite suivant un chemin quelconque, on voit que l'întë sera augmentée de la quantité constante A — B; par exemp si l'on suit le chemin rectiligue OM, on aura A — B -}- s,Lè variable u pouvant décrire le double contour (A) + (B) autào^ de fois que l'on veut, l'intégrale sera augmentée d'an multipitf quelconque de la quantité constante &> = A — B, qui conâtitMC^ ainsi une première période. On aura de même deux autres périodes 0)'= A — C, &)''= B — C ^ mais comme &>"=«' — u, cette troisième rentre dans les deux premières. Si Ton parcourait deux fois successivement le même contour (A), on reviendrait à la valeur initiale U^^ du radical, mais la valeur de l'intégrale A — A serait nulle. Ainsi il n'y a pas d'autres périodes que les deux que nt>us venons de trouver.

Il résulte de ce qui précède qu'à chaque valeur de u correspondent deux séries de valeurs de z représentées par les formules