f-/ww-|-/w'&)', A — z-|-/w»-hw'w

dans lesquelles m et m' désignent des nombres entiers quelconques, positifs ou négatifs. Les valeurs B — z^C — z, que Ton obtiendrait en parcourant, d'abord Tun des contours (B)ou(C), puis le chemin rectiligne OM, rentrent dans la seconde série ; carB=:A-HB — A=A — w, C = B-hC — A = A— w'.Réciproquement on conclut de là que u est une fonction monodrome ï^ig ï3. de z doublement périodique;

quand la variable z augmente ou diminue deFunedes quantités 0) et 0)', la fonction u reprend la même valeur.

Dans le plan qui sert à figurer la variation de 2, portons à la suite les unes des autres les longueurs ooi^ O1O5», OiO^j... (fig. i3), égales à

lâa première période w, les longueurs oo'y o'o"^ o^o''^, .., jE^^Ies à la seconde période co'; par les points o, o\ o'\,,,^ r^taienons des parallèles à ooi, et par les points o, Oi, O2,..., ^iides parallèles à ocf : ces parallèles diviseront le plan en paralr lâc^ammes égaux, dans lesquels la fonction u reprendra périodiquement la même valeur. Dans chaque parallélo- ' gramme, la fonction u passe deux fois par tous les états de grandeur, et la somme des deux valeurs de z qui correspondent a la même valeur de u est constante et égale à A, en négligeant les multiples des périodes. La fonction, dans chaque parallélogramme, admet deux zéros simples, z = o, z = A, et un infini

A double -z = — -, car Téquation (2) montre que ;;' = o ou z = a

est un zéro simple pour ^ et par conséquent un itifini double pour u,

61. La méthode précédente s'applique sans difficulté à l'équation différentielle

(3) ^==v/G(« — «)(« — 6)(« — c)(;^ — rf),

à laquelle on joint Içs conditions z< = o, — = U^, pour z =0.

La fonction u reste monodrome même dans le voisinage des valeurs a, i, c, rf, pour lesquelles la dérivée cesse d'être monodrome par rapport à u. Soit a une valeur de z qui rend u infinie ; si Ton pose

z = a -f- z , tt = -^î

l'équation devient

(4) J-, = - ^G (i - av) (1 - bs>) (I ~ c.) (i ~ dv),

et l'on a la condition i^ = o pour 2' = o. La fonction v restant monodrome dans le voisinage de 2'= o, il en est de môme de M. Ainsi la fonction u est monodrome dans toute Tétendue du plan.

la variable h, ap*^

un autr^

de 81

//iveme

'', . ij variable ii, marquons les quatre points a^ b, c^ d (fig* i4)ï dans Tordre où ils se présentent quand on fait tourner le rayon vecteur dans un sens détermine , et considérons les contours élémentaires qui enveloppent cesdifrférents points. Comme nous Favons expliqué plus haut, quand ta variable £/ parcourt successivement deux contours élémentaires, on ra-

niéiie à l'origine, par deux changements de signe, la valeur ini-

n'ale du radical ; il en résulte les six périodes

Maïs ces six périodes ne sont pas distinctes; on remarque d'abord que les ti*ois dernières , étant des combinaisons des trois premières, rentrent dans celles-ci. Nous allons faire voir maintenant que les trois premières périodes se réduisent à deux.

De Torigine comme centre, avec un très-grand rayon OL, décrivons un cercle, et supposons que la variable u parcoure d'abord la droi teOL, puis décri ve la circonférence dans le sens indiqué par la flèche, et revienne à l'origine par la droite LO. Ce contour fermé éqnivaut évidemment à la somme des quatre contours élémentaires (A) -f- (B) -h (C) H- (D), parcourus dans Tordre indiqué, ce qui donne Tiniégrale A — B -h C — D. Le radical, ayant éprouvé quatre changements de signe, reprendà Torigine sa valeur initiale Uq^ quand la variable, après avoii pan ouru la droite OL, a décrit la grande circonférence, le radical reprend au ]>oinl L la nirmc valeur, cl par suite h