ORIGINE DES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES

seconde intégrale LO détruit la première OL 5 il reste à évaluer l'intégrale circulaire. Si l'on pose z = re^' , cette intégrale a par expression

VK-H (- ^'"•') (' - ^'"") (-H

quand le rayon augmente indéfiniment, cette intégrale tend vers zéro. Comme l'intégrale relative au contour formé OLL'LO est nulle, il en résulte la relation

A — B-hC — D = o; d'où

ce qui fait rentrer la troisième période A — D dans les deux premières. Ainsi la fonction u est doublement périodique*, elle admet les deux périodes ft)=A — B, on' = A — C.

Si Ton néglige les multiples des périodes, on voit qu'à chaque valeur de M correspondent deux valeurs de z, savoir: l'intégrale rectiligne z et A — z, les autres valeurs B — z^ C — z^ D — z rentrant dans la seconde par des additions de périodes. La somme de ces deux valeurs est constante et égale à A.

Dans chaque parallélogramme des périodes, la fonction u passe deux fois par tous les états de grandeur ^ elle admet deux zéros simples z = o, z = A, et deux infinis simples z = a, z =]3. L'équation (4) montre, en effet, que z = (X est zéro simple pour ^ et, par conséquent, infini simple pour u.

62. 11 résulte de ce qui précède que, lorsque le polynôme placé sous le radical est du troisième ou du quatrième degré, la fonction tléfinie par l'équation diflférentielle est monodrome et doublement périodique. Il est aisé de voir que, si le polynôme était d'un degré supérieur au quatrième, la fonction u cesserait d'être monodrome.

Considérons en général l'équation

J = U. U'=F(«), F (u) désignant un polynôme en lier du drgré m^ cl soit a une

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valeur finie de z pour laquelle u devient infinie. Si Ton pose

a = i, Up'=-V,

l'équation difl'érentielle devient

et l'on a

Quand le degré m du polynôme F (u) ne surpasse pas 4, le nouveau coefficient différentiel V conserve une valeur finie pour 1^ = o, et par suite, en vertu de ce qui précède, la fonction V reste monodrome quand z tourne autour de a.

Lorsque le polynôme est d'un degré supérieur à 4) le coeffi-' cient différentiel V devient infini pour i' = o, et la fonction v^ n'est plus monodrome. Supposons d'abord que le polynôme F ( m) soit d'un degré pair a n, on aura

plu— 4 '

d'où l'on déduira pour V une expression de la forme

En vertu du théorème II (livre II, chapitre I), quand z tourne autour du point a, la fonction v prend n — i valeurs, qui se permutent les unes dans les autres circulairement.

Si le polynôme est du degré impair m = 2 « -f- 1 , on posera

d'où

fl H- ^^ p'^ H- . . ■

Le coefficient différentiel de l'équation

dz' 2 p' étant', par rapporta ^'', un infiniment grand du degré 2 n — 2, la

ORIGINE DES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. y5

fonction u' et par suite \^ admettent 2n — i valeurs en série circulaire, quand z tourne autour du point a.

Lorsque m = 2, u est une fonction de z simplement périodique, qui ne devient infinie pour aucune valeur finie dez.

Lorsque m := 3 ou m = 4? la fonction est doublement périodique et admet deux infinis dans chaque parallélogramme des périodes.

Mais lorsque m est plus grand que 4, le nombre des périodes surpasse en général deux *, dans tous les cas, la fonction n'est plus monodrome et prend une infinité de valeurs en chaque point du plan.