PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES

Des périodes,

63. Dans le chapitre précédent, nous avons fait voir comment certaines équations ditTérenti elles donnent naissance à des fonctions monodromes et monogènes doublement périodiques. Dans le chapitre actuel, nous nous proposons de démontrer les propriétés fondamentales des fonctions doublement périodiques en général.

On conçoit directement l'existence des fonctions doublement périodiques. Que Ton suppose le plan , dans lequel se meut la variable z^ divisé en parallélogrammes égaux ayant pour côtés les deux quantités géométriques w et w', et que Ton se représente une fonction monodrome reprenant la même valeur aux points correspondants de ces divers parallélogrammes, on aura une idée très-nette d'une fonction doublement périodique; mais en général celte fonction ne sera pas monogène.

Pour qu'il ait réellement deux périodes, il faut que le rap-

porl — soit imaginaire j autrement, les deux quantités geome-

y6 LIVRE II.

triques ci) et ci)' ayant la même direction , les parallélogrammes se réduiraient à des lignes droites. II est aisé de voir que, lorsque le rapport des périodes est réel et commensurable, les deux périodes se réduisent à une seule; en effet, soit « = « w", &)'=/i'ûi)", n et n! étant des nombres entiers premiers entre eux; on a

les combinaisons des deux périodes sont des multiples de co'^, et réciproquement, comme on peut choisir p et if àe manière que pn + qnf soit égal à un entier donné, ces combinaisons donneront tous les multiples de co''; ainsi les deux périodes (ù et w' se ramènent à la seule période (ù" et la fonction est simplement périodique. Supposons Iç rapport des périodes réel, mais incommensurable; ce cas peut être considéré comme la limite de celui où les deux périodes admettent une commune mesure &)", infiniment petite; la fonction, reprenant la même valeur à des distances infiniment petites w", serait une constante. Ainsi, dans toute fonction doublement périodique, le rapport des périodes est imaginaire.

64. On peut choisir d'une infinité de manières les périodes d'une fonction doublement périodique. Pour fixer les idées, supposons la fonction monodrome et monogène. Soit o uu point quelconque du plan pour lequel la fonction a la valeur I/o et la dérivée la valeur u^ [fig* i5); à ce point en corres- Fig. i5. pondent une infinité d'autres

pour lesquels la fonction et sa dérivée reprennent les mêmes valeurs i/o, w'^. Joignons deux quelconques de ces points o et Oi ^ si, sur la droiteooi, et dans l'intervalle de o à Oi, il n'y a aucun autr^î point, on pourra prendre la graYideur géométrique ooi comme une première période w. Car, la foiïction et sa dérivée