PROPRIÉTÉS GÉN. DES FONCTIONS DOUBL. PÉRIODIQUES
ayant chacune la même valeur en o et en Oi, si Ton fait mouvoir la variable «, à partir de ces points, suivant des lignes égales et parallèles , la fonction et sa dérivée auront constamment la même valeur aux points correspondants. Il en résulte que, sur la droite indéfinie ooi, existent une infinité de points correspondants o, Oj, Oj,..., séparés par le même intervalle w. Maintenant faisons mouvoir cette droite parallèlement à ellemême, jusqu'à ce qu'elle rencontreun autre point o'^ dans cette seconde position, la droite contiendra une nouvelle file de points correspondants o', o', , o',,. .., séparés par le même intervalle w. Si Ton joint deux points quelconques o, o' de ces deux files parallèles, la grandeur géométrique oo' pourra servir de seconde période -, il est évident que sur la droite infinie oo' se trouvent aussi une infinité de points correspondants o, o', o'^,..., à la distance (û> les unes des autres ^ on a ainsi deux séries de files égales et parallèles.
Ces deux séries de files parallèles divisent le plan en une infinité de parallélogrammes égaux entre eux, qui ne renferment dans leur intérieur aucun des points o, Oi,... o',.... U est clair que la fonction et sa dérivée ont respectivement la même valeur aux points homologues de ces divers parallélogrammes. Nous appellerons parallélogramme élémentaire l'un quelconque d'entre eux, par exemple le parallélogramme OOi o\ o.
6S. Nous avons vu que Ton peut former d'une infinité de manières le parallélogramme élémentaire. Désignons par w et «'certaines périodes formant un parallélogramme élémentaire. Deux périodes nouvelles Wi et w', étant des grandeurs géométriques allant du point o à deux points homologues , on aura
Wi = poi H- g 6)',
Pour que ces deux périodes cr)i et (ù\ puissent remplacer les deux premières, et former un nouveau parallélogramme élémentaire, il faut d'abord que /7 et q soient premiers entre eux, ainsi que /?' et (f ; il faut en outre que w et a>' soient réciproque-
r?8 LIVRE 11.
ment des combinaisons de Wj et (ù\ 5 ce qui exige que les nombres entiers p, ^, p\ q' vérifient la relation p(f — qp' z=,-±\. Celte condition exprime que les deux parallélogrammes sont équivalents. En effet, soient
w = fl -+- biy w' = fl' H- b' i' ; Faire du premier parallélogramme est
±[ab'--ba'), celle du second
±[{pa 4- qa')[p'b + q'b') - (pb^qb') (p'a + y'fl')] = ±{pq'-qp'){ab^-ba^).
Si la condition pq^ — qp^=± i n'était pas vérifiée, le nouveau parallélogramme serait trop grand, et se composerait de la réunion de plusieurs parallélogrammes élémentaires.
66. Soit le parallélogramme ooio', o' (^g* i5)', en conservant la première période w, et prenant pour seconde période la droite qui joint le point o à un point quelconque o\ de la seconde file, on obtient un nouveau parallélogramme élémentaire ooi o\ o\ , équivalent au premier ; dans ce cas, les nouvelles périodes sont o) et ^' -^ptà^ ce qui ajoute à l'une des périodes un multiple quelconque de l'autre.
On peut toujours, par une série de transformations pareilles, passer des périodes w, (J aux périodes équivalentes &)i, w, . En
effet, réduisons en fraction continue la fraction -et soient
Po Px Pn p
7o qx qn q
les réduites successives ; on a
pqn — qpn=±i\ mais on a aussi
pq'—qp'=z±i.
On peut supposer que le signe est le même, sans quoi on changerait les signes de p' et de 9', c'est-à-dire le signe de tù' , On en déduit
P'=Pn-\-pt,
PROPRIÉTÉS GÉN. DES FOJNCTIONS DOUBL. PÉRIODIQUES. 79
t étant un nombre entier, et, par suite,
w'i =Pa W + 7n &*' -h ^W| ;
si de la seconde période (ù\ on retranche un multiple f w, de la première, on remplacera les deux périodes w, et w^ par les deux périodes équivalentes
On a de môme
Pn In-i — qn Pn^x = HF i;
d'ailleurs
Png—qnP=Z^l'y d'oÙ p = p^t -h Pn t\ q = qn^x + qnf,
et les deux périodes précédentes deviennent
Si de la première on retranche un multiple de la seconde , on les remplacera par les deux périodes équivalentes
Pn^i » -h qn-\ »',
En continuant de cette manière, on arrivera aux deux périodes /7o w + 9, w',
Mais on peut toujours supposer la fraction - moindre que
Tunité, sans quoi on aurait réduit en fraction continue la
fraction - ; dans ce cas, on a po = o, ^o = * i ^i = i ? et les deux
dernières périodes obtenues sont w' et w •+■ ^j w' ; une dernière opération les ramène à ci), où^
Propriétés générales,
67. Les fonctions doublement périodiques, monodromes et monogènes, jouissent de propriétés communes qui résultent de l'idée même de la double périodicité. C'est M. Liouville qui, le premier, a envisagé les fonctions doublement périodiques
80 LIVRE ir.
sous ce point de vue très-élevé; il a jeté ainsi un grand jour sur cette matière auparavant si obscure.
Théorème I. '- — Le résidu intégral de toute fonction doublement périodique , inonodrom,e et mono gène y relatif à Vairè d'-un parallélogramme élémentaire, est nul.
M. Cauchy appelle résidu intégral d'une fonction monodrome et monogèney(^), relatif à une aire plane donnée, Ja valeur de l'intégrale ff[z)dz^ prise le long du contour de cette aire et divisée par 27:1. D'après ce qui a été dit au n** 20, le résidu relatif à une aire quelconque est égal à la somme des résidus relatifs aux aires inGniment petites qui comprennent les points de l'aire pour lesquels la fonction f{z) devient infinie.
Nous supposons la fonction /(z) doublement périodique.
Représentons les deux périodes par AB et AC {fie- * ^ ) 5 ^^* parallèles équidistantes partageront le plan en parallélogrammes dans lesquels la fonction reprendra périodiquement la même valeur. Considérons le résidu intégral de la fonction y (z) relatif à Taire du parallélogramme ABDC, et l'intégrale définie prise le long du contour de ce parallélogramme, parcouru dans le sens ABDC. La fonction/ (z) étant la même le long des deux côtés opposés AB, CD du parallélogramme , il est évident que l'intégrale définie , prise le long de ces deux lignes, acquiert la même valeur \ mais, comme les côtés opposés sont parcourus en sens contraire, les deux portions relatives à ces côtés, dans l'intégrale définie , se détruisent , et de même les deux portions relatives aux deux côtés opposés BD, CA. Ainsi l'intégrale définie, prise le long du contour du parallélogramme est nulle, et par conséquent le résidu intégral est nul.
PROPRIÉTÉS GÉN. DES FOxNCTlONS DOL'BL. PÉRIODIQUES. 8l
Ce théorème remarquable , duquel on déduit avec une 'ande facilité les plus importâmes propriétés des fonctions )ublement périodiques, a été aperçu pour la première fois ar M. Hermile.
68. Théorème II. — Toute fonction doublement périodiue, monodrome et monogène, admet au moins deux injilis dans chaque parallélogramme élémentaire.
La fonction, étant périodique, admet un premier infini lans chaque parallélogramme. Si elle n'avait qu'un infini iimple z = a. dans un parallélogramme, elle s'écrirait
^(z) ne devenant plus infinie dans ce parallélogramme; le résidu intégral relatif à ce parallélogramme, étant égal à A, ne serait pas nul; il y a donc au moins un second infini. ' Cette propriété sert de base à la belle théorie des fonctions doublement périodiques professée par M. Liouville au Collège de France.
Si la fonction doublemejit périodique admet deux infinis simples, z = a, ^ = |3, dans un parallélogramme, on pourra la mettre sous la forme
^(z) ne devenant plus infinie dans ce parallélogramme; pour que le résidu soit nul, il faut que B = — A. Si la fonction admet un infini double z = a, on aura
le coefficient de la fraction du premier degré étant nul.
69. Théorème III. — Chaque parallélogramme des périodes renferme autant de zéros que d'infinis.
Considérons la fonction -. / » Celte fonction , qui est dou-
Uemeiil périodique, comme la fonction proposcey (r), n'admet <iue des infinis simples, savoir les zéros et les infinis de la fonc-
iUiiïf(z), En effet ,,soil a un zéro de degré p de la fonction y(z), on aura
la fonction (f (z) ne devenant ni nulle ni infinie pour z =a; on en déduit
/(s) î—fl ç(3)
Ainsi la quantité a est un infini simple de la fonction
-7~~' Le résidu de celte fonction , relatif à cette valeur a , est
égal à p.
De même, soit a un infini de degré (f de la fonction f(z), on aura
/(z)=:(2-.a)-fy(z),
la fonction 9 (^) ne devenant ni nulle ni infinie pour z = a*, on en déduit
Ainsi la quanlilé a est un infini simple de la foncjLion
-j — r-î et le résidu correspondant est égal à — q.
Puisque la fonction / est doublement périodique, le ré-
sidu intégral de cette fonction, relatif à Taire du parallélogramme, est nul^ on a donc
ip — iq = o, ou
On en conclut que, dans chaque parallélogramme, le nombre des zéros de la fonction y (z) est égal au nombre des iufîuis, en tenant compte du degré de cliacim d'eux.
70. Corollaire. — Désignons par n le nombre des infinis de la fonction /(z) dans chaque parallélogramme, le nombre des zéros est aussi //. La fonctiony(z) — //, qui a n infinis, a aussi 71 ïérps; ceci montre que, dans chaque parallélogramme, la fonction y (2) passe n fois par une valeur quelconque m.
PROPRIÉTÉS GÉN. DES F03ICTtOMS DOUBL. VÉHIODIQUES. 83
II i-ésulte de ee qui précède que ran peni caractériser Tordre d'une foncliou doublement périodique par le nombre de se§ infinis dans chaque parallélogramme, puisque ce nombre indique combien de fois la fonction passe par chaque valeur. L ordre est au moins égal à deux. Les fonctions doublement périodiques^ provenant des équations différentielles que nous avons étudiées dans le chapitre précédent, sont du second ordre.
H . THÉORÈME IV. — La somme des n valeurs de la variable quiy dans un même parallélogramme y correspondent à une même valeur de la fonction doublement périodique d'ordre /i, est constante.
Appelons z^-, ^^tv? ^n'i les n valeurs de z qui, dans un imème parallélogramme, correspondent à la même valeur u de la fonction doublement périodique u=:f(z)^ et posons
Ç = z. -!-«., -f-. . .-4- 2«, d'où
dH^ dzi dz2 dzn
du du du du
 chaque valeur de m, finie ou infinie, correspond une valeur finie de Ç, augmentée de multiples des périodes, et une seule
valeur du coefficient différentiel — » qui peut être regardé
comme une fonction de u^ monodrome et monogène. Celle fonction ne peut devenir ihfiniepour aucune valeur de u finie
