AT

OU infinie^ car, si — devenait infinie pour u±= a^ on aurait, en vertu du théorème III (n° 36)^

du [u — ay

et ^ deviendrait infinie, ce qui est impossible. La fonction

^ ne devenant pas infinie, est une constante; de plus, cette

constante est nulle, sans quoi on aurait Ç = Am 4- B. Donc la quantité ^ est elle-même une constante.

72. Théorème V. — // existe une fonction doublement périodique du second ordre y monodrome et monogène , ayant deux périodes données (à et w', deux infinis donnés a et ^ et d^ux zéros donnés satisfaisant à la condition ce -^-è^ a-^b.

Proposons- nous d'abord de former une fonction doublement périodique du second ordre, aux deux périodes w et «', et admettant deux infinis donnés a et (3.

Considérons la double série

2 7r/ a-hS A a—ô'

> I Z -t- //? W COS TT î-

W \ 2 j (ti

que l'on prolonge indélîniraent à droite et à gauche, en donnant à m toutes les valeurs entières depuis o à -h oo et depuis — là — 00 .

Nous commencerons par démontrer que cette double série est convergente. Désignons par p = /• + 5i le rapport imaginaire des périodes —5 et pour fixer les idées, supposons 5 ^ o.

En remplaçant les cosinus par des exponentielles, le terme général de la série devient

— •2nntpi I s ] i ity.'izpi — ( z 1 1 —Tt —i :r -

e .^ " V 2 / -he .^^ \ /^ / — (? " — ^

Si m est positif et très-grand, on écrira ce terme sous la forme suivante :

imirpi — [z i- J i

Le module du facteur e*'"'^/", étant égal à e"""''", est très-petit ; le dénominateur est sensiblement égal à l'unité. La racine //i'*'"' du terme général est donc sensiblement égale à

c'esl-à-dirc à e^'^P'^ dont le module est e~-^'. Ainsi, quand w

PROPRIÉTÉS GÉN. DES FONCTIONS DOliBL. PÉIUODIQI ES. 85

^mugmenle indéfiniment, la racine m'^"'' du terme général lend '' vers une limite dont le module est moindre que l'unité, et par '- conséquent la série, prolongée vers la droite, est convergente. - Si m est négatif et très-grand, on changera le signe de w, et }- Von arrivera à la même limite e^^P^,

' La série (i), étant convergente dans les deux sens, définit une f fonction de z. Cette fonction est monodrome, puisque chaque terme n'a qu'une valeur pour chaque valeur de s. Il est aisé de : voir qu'elle est doublement périodique. D'abord-, chaque terme I reprenant la même valeur, quand z augmente de ro, la fonction I admet la première période ro. Si z augmente de w', le premier ^ terme devient égal au second, le second au troisième, etc., en «n mot tous les term^ marchent d^un rang vers la droite*, puisque la série est convergente dans les deux sens, la somme ne change pas^ ainsi la fonction admet la seconde période on'.

Le premier terme, celui qui correspond à w = o, devient infini pour les deux valeurs z = a, z = j3, que Ton peut augmenter d'un mul ti pie quel conque de w, le terme, qui correspond i/w = — 1, devient infini pour les deux valeurs z = </.-{- w', z= |3 4- 0)', que l'on peut augmenter de même d'un multiple quelconque de w, et ainsi de suite. La fonction admet donc les deux infinis -z ^ a, z ^ (3.

73. Il reste maintenant à faire voir que la fonction est monogène. Nous nous servirons pour cela d'un lemme que nous allons démontrer.

Soit

uue fonction définie par une série convergente , dont chaque terme est une fonction monodrome et monogène de la variable z dans une certaine portion du plan ^ si la série

obtenue en prenant la dérivée de chaque tenue, est convergente, elle définit une fonction cp [z) qui est la dérivée de la fonction proposée /^(-s), quelle que soit la direction du dépla- <emenl. Supposons que Ton intègre depuis a jusqu'à z^ le long

d'une ligne comprise dans la portion de plan considérée , on

aura

Jl (f[z)dz=zj tt'^ rfz -f- 1 tt\dz -^. . . ; a Ja Ja

puisque i/, est la dérivée de la fonction monodrorac et monogène I/o, on a

et de même pour les autres termes ; on a donc

^(z)dz=f{i)-f{a).

Imaginons que z se déplace d'une quantité très-petite dans une direction quelconque, il viendra

d'où

Ainsi la fonction f [z) admet pour dérivée 9(2), quelle que soit la direction du déplacement; c'est donc une fonction monogène. .

Revenons maintenant à la série (i) ; en prenant la dérivée de chaque terme on forme la nouvelle série

'"— *^ sin ( z -î-ï- -f- m «' 1

<"=-« [COS — (^z - —^ + «, «'j- C0S,r --J1J

convergente coinme la prenaière. Car, si m est très-gran J positif, le terme général s'écrira

6 étant très-petit ; la racine m'^""' aura pour limitç e^'^P'^ dont ]c module e~"'^^ est moindre que riinîté -, donc la série (2) est