PROPRIÉTÉS GÉN. DES FONCTIONS DOUBL. PÉRIODIQUES

convergente. En venu du principe que nous avons établi, la fonction <f (z) qu'elle définit, est la dérivée de fonction /{«), quelle que soit la direction du dépUcemeul ; ceci prouve que la fonction^ (z) est monogène.

74. En résumé, la série (i) définit une fonction/ (« ) doublement périodique, monodrome et monogène, admettant les deux périodes données o) et o>', et les deux infinis donnés a

La fonction

sera aussi doublement périodique, aux mêmes périodes (ù et o/; elle admettra les mêmes infinis « et j3 ; elle admet de plus le zéro donné a, et par suite un second zéro é, tel que a-|- 13^ « -h b. U y a encore un facteur A arbitraire que l'on pourra déterminer par la condition que la fonction prenne une valeur donnée pour une valeur donnée de z.

A Taide d'une fonction doublement périodique /(r) du second ordre, telle que celle que nous venons de former, il est facile d'obtenir une autre fonction doublement périodique du second ordre (f (z), ayant les mêmes périodes w et w', mais d'autres infinis a', (3', et d'autres zéros a\ b\

Considérons en effet Texpression

le numérateur devient infini pour les deux valeurs z=zol — et « = j3 — ô, dont la somme est a -f- (3 — 26; mais, comme le dénominateur admet aussi ces deux infinis , la fraction conserve une valeur finie. Les deux valeurs z-=icf\ z=:a-4-|3 — 26 — a', annulant le dénominateur, rendent infinie la fraction \ si donc on pose

d'où

la fraction admettra les deux infinis simples a' cl /5'. Le numé-

go LIVRE II.

77. Corollaire I. — Appliquons ce théorème a la recherche (le la relation qui existe entre la fonction doublement périodique u=f(z) et sa dérivée uf=zf*(z). La dérivée est une fonction doublement périodique ayant les mêmes périodes que la fonction proposée. Elle admet les mêmes infinis, le degré de chacun d'eux étant élevé d'une unité ^ si donc on désigne par n l'ordre de la fonction w, Tordre nf de la fonction u! sera au moins égal à /i + 1 et au pins égal à 2n. Ainsi la fonction M et sa dérivée 1/ sont liées par une équation algébrique entière , du degré n par rapport à w', et du degré n' par rapport à II.

Soit ( 7 ) Uo «'" -h U, I*'"-' -h Ua u'^-' -h... -H U„ = o

celte équation ordonnée par rapport aux puissances décroissantes de «/. La fonction // ne devenant infinie pour aucune valeur finie de // , le premier coefficient Uo est égal à Tunilé. A une même valeur de m correspondent n valeurs de z dont la somme

est constante (71 ) , et, par suite, // valeurs de — ou de — dont la

somme est nulle; il en résulte que ravant-dernicr coefficient U^,i est égal à zéro.

Celte liaison algébrique entre une fonction doubleraenl périodique quelconque et sa dérivée a été remarquée par M. Méray, élève de l'École Normale.

78. CoROLi,AiRE IL — Les fonctions doublement périodiques les plus simples sont celles du second ordre. Dans ce cas Téquation (7) se réduit à

Uj étant un polynôme en n du troisième ou du quatrième degré. Ainsi toute fonction doublement périodique du second ordre satisfait à une équation diflerentielle du genre de celles que nous avons étudiées dans le chapitre précédent.

Il y a deux cas à distinguer : i". Lorsque la fonction u=f(z) a deux infinis simples a et (3, dont nous désignerons la somme par ç, la dérivée //', ayant deux infinis doubles, est une fonc-