PROPRIÉTÉS GÉN. DES FONCTIONS DOLBL. PÉRIODIQUES. 9I

tion doublement périodique du quatrième ordre, et le polynôme U^ est du quatrième degré. Il est facile de former ce polynôme ; la fonction u reprenant la même valeur dans chaque parallélogramme pour deux valeurs de -z, dont la somme est égale à la quantité s augmentée de multiples des périodes, on a

et, par suite,

/'iz) = -/'{s-z).

Si Ton fait ^ = -? il vient

ce qui ne peuç avoir lieu que sif'l-) est nulle ou infinie ^ /' 1 -| n'est pas infinie , puisque - difïère des deux iiifi-

et (3 \ donc /' ( - J = o. Si Ton remplace z par cliaouiiç

1 1 s as w' .y w 4- w' 1 A

des valeurs — | — > — | > — | > on a de même

Ainsi la fonction u! admet les quatre zéros *-i — 1 — ? - H ,

mais

mr. a

- H On a donc

2**. Lorsque la fonction u admet un infini double a, la dérivée a', ayant un infini triple, est du troisième ordre, et le polynôme U? du troisième degré. La somme constantr s étant égale

i)'À LI\RE II.

a via, la loiicLion ii admet les trois zéros a H 9 «H — i

a H > et 1 on a

("chacun des facteurs qui composent les expressions (9) et (10) admet un zéro double.

78. Théorème VIII. — Une fonction doublement périofliffuc, fie l'ordre n, s'exprime rationnellement au moyen d\uic fonction du second ordre aux mêmes périodes y et de sa dérivée.

Proposons-nous maintenant d'exprimer une fonction doublement périodique v^ de l'ordre w, au moyen d'une fonction doublement périodique u du second ordre, à deux infinis simples a et (3, et aux mômes périodes. Les deux fonctions sont liées par une équation

(11) Li'* — 2Mt'+ P=:o,

du second dej^ré par rapport à i^ et du degré n par rapport à «. Si Ton pose

ccUe tHjuulion devient

: i::») ««- — (M- — LP) = o.

La foncôon u- est une fonction monodronie doublement périodique jKir rapjwrt à z, comme la fonction u. A chaque valeur do II corivspoudont, dans un mémo parallélogramme, deux valeurs Cl et r, do z , losquellos donnent pour u deux valeurs t*§;aloset do situes oinïtrairos, ol do morne pour \\\ Ainsi le quotient — ost monodnmio par rapjH>il à u. Nous a>ous vu que la

tonvliou u avUuol lo> qualro /Oio> -» * — : ' — : :

* -jt •-• L^ 1 22 2

Ia fonotîi^a it ,;dn;ot au<>î i\< quatre /ci 05. au antre roîé,

l\>ju.it'i.Mi .1 ' ■ a\ .:;: >«-ri jMvPtîor i».» Mîiivîil iû-1 à luniio. la

PROPRIÉTÉS GÉJV. DES FOJVCTIOWS DOUBL. PÉRIODIQUES. i)3

toiictioii w lie devient infinie pour aucune valeur finie de u.

Le quotient — > monodrome par rapport à u et ne devenant iii-

liiii pour aucune valeur finie de w, est donc une fonction entière de tt (n*^40); cette fonction est du degré n — 2. Si nous la désignons par N , nous aurons la formule

dans laquelle L, M, N représentent des polynômes entiers en m; les deux premiers du degré n au plus, le troisième du degré n — 2.

Cette proposition très-importante est due à M. Liouville, qui Ta démontrée par d'autres considérations.

79. Remarques, — Le dénominateur L de l'expression (i3) est en général du degré n \ il sera nul pour n valeurs de w, et, par suite, pour 7.n valeurs de z dans chaque parallélogramme. Parmi ces in zéros du dénominateur, n sont les infinis de la fonction (^, n annulent aussi le numérateur, et par conséquent se détruisent. Le numérateur admet aussi 2 ri zéros, savoir les n dont nous venons de parler et qui lui sont communs ave(^ le dénominateur, et, en outre, les n zéros de la fonction p».

Si n est pair, et que, déplus, les infinis delafonction P', groupés deux à deux d'une manière convenable, présentent une somme constante et égale à la somme s des deux infinis de la fonction u , il est "clair que le dénominateur L se réduira au

degré -•, car les deux zéros de chacun des facteurs du dénominateur seront des infinis de la fonction \^.

80. Désignons pary (2) la fonction u et par F (2) la fonction i^. Nous savons que

f{s-z)=f{z), d'où

Si, dans l'expression

Yiz)=''^ini),

q4 livre II.

on remplace z par s — z , il vient

Là

Supposons que la fonction F {z) jouisse de la même propriélé que la foni tion / ( z ) , c est-à-dire que F (s — «) = F(z), la comparaison des équations précédentes montre que N = o; dans ce cas, on a

et la fonction v^ est rationnelle en u.

Supposons au contraire F (s — z)= — F(z); dans ce cas, ou a M = o, et

Ces dernières remarques ont été faites par M. Liouville.

81. Théorème IX. — Lorsqu'une f onction monodrome et monogène a ses infinis et ses zéros disposés par groupes égaux et équidistants suis^ant deux directions différentes , et que , dans chaque groupe , le nombre des zéros est le mente que celui des infinis y et la somme des zéros la même que celle des infinis, la fonction est doublement périodique.

Nous avons fait voir (n® 75) comment, avec une fonction monodrome doublement périodiquey*(z) à deux infinis, on peut former une fonction doublement périodique F{z), ayant les mêmes périodes, un nombre quelconque d'infinis et un pareil nombre de zéros donnés, pourvu que la somme des zéros égale celle des infinis.

Il existe donc une fonction doublement périodique F (z) ayant les infinis et les zéros de la fonction proposée; le rapport de ces deux fonctions étant constant, on en conclut que la fonction proposée est elle-même doublement périodique.