DE LA FONCTION X

siante et égale à — On en déduit cette relation

et, par suite,

La fonction admet les deux zéros simples 2 = o, ir = -• On a aussi ^(t ) = Ï9 puisqu'en faisant varier £i de o à i en ligne

droite, l'intégrale définie z acquiert la valeur-^* On voit par là

que, relativement à là première période c«), la fonction X (2) jouit de propriétés analogues à celles de la fonction simplement

périodique sin

86. Cherchons maintenant les deux infinis. Supposons que la variable u^ partant de li 1= o, s'éloigne à l'infini suivant un i chemin quelconque^ on obtiendra une valeur finie de z ,

1 Jo g^'*

Posons

il vient

Or, rien n'empêche de supposer le chemin suivi par la variable u tel que le chemin correspondant suivi par la variable u!

soit recti ligne-, on a donc a = — Un second chemin allant

de M==o à u = <x> donnera a, c'est-à-dire — ou

^-j — . Les autres chemins conduisent aux mêmes valeurs, 2 2

98 LIVRE m.

aui^menli'es ou diminuées de multiples des périodes. Ainsi, Fig. 18. dans chaque parallélogramme, la

j . j , fonction ^ (z) admet les deux in-

finis simples

La figure (18) indique la distribution des zéros et des infinis dans le plan relatif à la variables; les points ronds se rapportent aux zéros, les étoiles aux infinis.