Posons

la nouvelle fonction f^ satisfait à Téquation différentielle

(2) ^ = -^v^(.-.')(,->tV'),

et s'évanouit pour 2'=:o, la valeur initiale du radical poui z' = o étant ip i . On a donc

suivant le signe du radical, ce qui donne la relation

Si dans celle relation on fait il vient

Il est facile de déterminer le signe; on sait qu'à la valeur 1/ = j?

par rinlégralion reclilignc suivant Oi, correspond la valeur donc

B b> oi> I

z = - = -j -^ ,011 a donc

DE LA FONCTIOW )w.

€cqui nous apprend que dans l'équation (2) le radical a la valeur initiale — i, et par suile la dërivéiî — la valeur initiale 4- I . On en conclut la relation importante

qui n'a pas son analogue dans le sinus, mais dans la tangente.

88. En résumant ce qui précède, on voit que la fonction elliptique, définie par l'équation (i), est une fonction monodrome doublement périodique impaire, ayant pour périodes

. C du , r'^ du

Elle admet dans chaque parallélogramme deux zéros z = o,

I z= -, et deux infinis simples z = —^ z = ; elle passe

deux fois par chaque valeur, et les deux valeurs de z^ qui correspondent à une même valeur de la fonction, présententune somme

constante et égale à -• Elle jouit des propriétés suivantes : On a d'ailleurs

89. On peut obtenir ces résultats d'une autre manière. Désignons par o) et w', non plus les deux périodes considérées précédemment, mais deux périodes formant un parallélogramme élémentaire quelconque. Si dans l'équation

on remplace la variable par l'une des valeurs o, -> — >

on a

M., = -Mo). >(;) = -'(|). >(t)=->(7)'

lOO LIVRE III.

ce qui montre que ces quatre valeurs rendent la fonction 1 nulle ou infinie. Comme la fonction s^évanouit avec lavariable, z = o sera un premier zéro ^ nous pouvons admettre que le

second zéro est-» ce qui revient à appeler première période le double du second zéro : car si le second zéro était y rien

n'empêcherait de changer de périodes, et de prendre pour périodes nouvelles w^ = w -f- «', w, = w'. Les deux. infinis seront

, te)' w -f- w'

alors — et •

La somme constante des deux valeurs de z qui^ dansuu même parallélogramme, correspondent à une même valeur de

la fonction, étant ici -9 on a

On en déduit et, par suite,

'■(i) = -K5)'Ki-T)=-'(i-ï)--

la fonction paire ^' (z) admet donc les quatre zéros =^7'

±: / " -^^ — j . Mais on voit sur Téquation différentielle (1) que la dérivée s'annule quand la fonction X est égale à ± i ou à d= -. On peut toujours supposer

car, si l'on avait, au contraire,

il suffirait de changer les périodes et de prendre pour périodes

DE LA FONCTION X. lOl

nouvelles «j = c«) -f- 2 w', w'^ = w', ce qui ne changerait rien d'ailleurs à la disposition des zéros et des infinis.

Les infinis de la fonction ^ (z) étant respectivement égaux

aux zéros, augmentés de la quantité constante ^ 9 on voit que

les valeurs de z, qui rendent la fonction i ( î^ 4- ^ ) infinie, sont celles qui annulent A (;?), et réciproquement. Les deux

fonctions X ( h-^l» rr—r» ayant les mêmes zéros et les

mêmes infinis, sont dans un rapport constant; on a donc

Si l'eu fait z = ->j il vient A = -j et Ton obtient ainsi la 4 ^

relation

90. Il importe de remarquer la manière dont on a choisi les périodes de la fonction elliptique ^ {z). On n'a pas pris un parallélogramme élémentaire quelconque, mais un parallélogramme tel que Ton ait

'(?)=■• Ki-l)=T

les propriétés que nous avons démontrées se rapportent à ce système particulier de périodes, auxquelles nous donnerons, pour les distinguer des autres, le nom de périodes elliptiques. Toutefois, à une même fonction X (z ) correspondent une infiniiéde systèmes de périodes elliptiques données par les formules

dans lesquelles m^ /i, m', /j' désignent des nombres entiers assujettis à la relation

relation que Ton peut mettre sous la forme

(4 w H-i)/i' — ^nm' -^

Oo peut prendre à volonté les deux uombres m et », pourva que les deux nombres 4 'w -f- i et /i soient premiers entre eux; Téquation précédente indéterminée admettra une ÎQfiQité de solutions entières des inconnues m' et /}'.

Le signe de la première période w est détern^né par la conr

ditiou X Ij] = -t- I , mais celui de la seconde période «' restç

arbitraire.

91. L'équation (i), par laquelle nous ayons défini la fonction )., renferme deux paramètres arbitraires g et Ar, et Fon coa-. coit que les deux périodes w et w', qui s'en déduisent, puissent rtîccvoir toutes les valeurs possibles ; nous désignerons cette fonction par le signe X (r, g, A), indiquant ainsi les deux paramètres g et ky dont elle dépend.

Mais ou peut ramener la question au cas ovLg=zi ] l'équation diflcrentielle

du

ne renferme plus alors qu'un seul paramètre Ar, auquel oa donne le nom de module ; la fonction elliptique qu'elle déflnit sera représentée par le symbole X (z, i , A), ou plus simplement X (5, A), en sous-en tendant le premier paramètre qui est égal à l'unité. L'équation (i) pouvant se mettre sous la forme

du

on voil ([lie

Si Ton .»pp( lie '•) et 0/ l(\s deux périodes de la fonction \ [z. A), celles de la fonriiou / [gz^ h) seront - et — : ainsi (|uîiihI du (hiu)j;i* la \alcur dn païamclrcg^, les deux périodes

DE LA FOfîCTlOM 1, Jo3

varieiil dans le même rapport. Il rcsulle de là que la valeur du module k ne dépend que du rapport des périodes; après avoir déterminé ce module de manière que le rapport des périodes de la fonction 1 [z^ k) ait une valeur donnée, il sera facile ensuite de choisir le paramètre g de manière que la fonction A (gZy, k\ admette deux périodes données.

Autre définition de la fonction X.

92. D'après, ce que nous avons dit dans le chapitre IV du livre H sur l'existence des fonctions doublement périodiques , on peut concevoir la fonction elliptique ^ (^), non plus comme définie par une équation différentielle, mais comme une fonction monodrome et monogène doublement périodique du second ordre jouissant de propriétés particulières. Nous savons (n^ 72) quHl existe une fonction doublement périodique du second ordre ayant deux périodes données, deux zéros et deux infinis donnés, pourvu que la somme des infinis égale celle des zéros; nous savons aussi que cette fonction est complètement déterminée à un facteur constant près. Que l'on imagine une fonction y(z) du second ordre aux deux périodes w et w',

admettant les deux zéros o et -> les deux infinis — et j

€t devenant égale à Tunité pour ^ = t (ce qui détermine le

(acteur constant) ; cette fonction sera la fonction ellipii- <IueX.

Nous remarquons d^ahord que cette fonction est impaire; car les deux fonctions ^'(-z), f[ — z)^ ayant les mêmes zéros ot les mêmes infinis, sont dans un rapport constant; on a donc

OU

M l'on fait londrc z vers zéro, il vient

/'(o).-.-C/'(o.}, •lou

I04 LIVRE m.

et, par suite, II en résulte

93. Il est aisé de voir ensuite qu'une pareille fonction satis*. fait bien à l'équation différentielle qui nous a servi à définir la fonction X, Nous avons démontré en effet (n® 77) que toute fonction doublement périodique, monodrome et monogènedu second ordre, vérifie Téquation différentielle

Ici , la somme s étant égale à - et la fonction impaire , on a si Ton pose

il vient

çt l'équation différentielle se réduit à la formée