DE LA FONCTION [Â

désignerons par U lettre /i, est donnée par Téquation finie

à laquelle on joint la condition initiale |u (o) r= i .

La fonction fi n'est pas monodrome par rapport à X , mais çUe Test par rapport à z. En effet, c'est dans le voisinage des

valeurs ^ =±: j 5 pour lesquelles i = ±i, qu'elle pourrait

acquérir des valeurs multiples ; posons

BOUS aurons, en développant en série convergente pour les valeurs suffisamment petites de z\

la série ne contient que des puissances paires de z\ puisque

il en résulte, en substituant, un résultat de la forme

donc la fonction /x(z) reste monodrome dans le voisinage de 2 = y II en est de même dans le voisinage de la valeur

Cl)

La fonction pourrait encore cesser d'être monodromo, quand

^ devient infinie, ce qui a lieu pour ^ = — ou z = •

Posons

il vient

xl-1.

Io6 LIVRE III.

la fonction |ul devient inOnie pour ^ = — •, mais elle reste rno-

nodrome autour de ce point. Il résulte de là que la fonction yi est monodrome pour toutes les valeurs de la variable z.

95. La fonction ^ est paire. En effet, si Ton fait marcher z, à partir de Torigine, suivant deux lignes opposées, la fonction ii(z) prendra aux points correppondants z et — z, 4^u% valeurs égales , ou deux valeurs égales et de signes contraires 5 quand z parcourt un premier élément de part et d'autre de l'origine, les deux valeurs de fx(^), différant très-peu de Il (o) ou de + I , seront de même signe, et par conséquent rigoureusement égales ; il en sera de même tout le long des deux courbes. A la vérité, le raisonnement serait en défaut si les

courbes passaient par les points z = + ^ 9 pour lesquels

[i[z)=0] mais on pourra toujours éviter ces points, et, comme la fonction est monodrome, la coQclusioB est générale. On a donc la relation

96. Cherchons les périodes de celte fonqtion : nou§ avpnss trouvé

ce qui donne la relation

En ajoutant - une seconde fois, on aura

0) est une première période.

Nous avons trouvé d'autre part

donc

en res

uUc