CHAPITRE m. — Origine des fonctions doublement périodiques

Étude de la fonction définie par Téquation différentielle

^ = >/G(m — «)(«— 6)(ii-7) 68

Étude de la fonction définie par Téquation différentielle

du I

— =>JO[u^a){u^b){H^c)[u^d) 71

Cas où le polynôme placé sotis le radical est d'un degré supérieur au quatrième 73

CHAPITRE IV. — Propriétés générales des fonctions doublement périodiques.

Des périodes 75

THÏo&iME I. Le résidu intégral de toute fonction doublement périodique monodrome et monogène , relatif à l'aire d'un parallélogramme élémentaire, est nul 80

VIfl TABLE DES MATIERES.

Théorème II. Toute fonction doublement périodique, monodromeet monogène, admet au moins deux infinis dans chaque parallél(^ramme élémentaire

Théorème III. Chaque parallélogramme élémentaire renferme autant de zéros que d'infinis

Classification des fonctions doublement périodiques

Théorème IV. La somme des n valeurs de la variable qui , dans un même parallélogramme élémentaire, correspondent à une valeur d'une fonction doublement périodique d*ordre /z, est constante

Théorème V. Il existe une fonction doublement périodique du second ordre, monodrome et monogène, ayant deux périodes données, deu\ infinis donnés et deux zéros donnés, pourvu que la somme des zéros soit équivalente à celle des infinis

Théorème VI. Il existe une fonction doublement périodique , monodrome et monogène , d'ordre n , ayant deux périodes données, n infinis donnés, et n zéros donnés, pourvu que la somme des zéros soit équivalente à celle des infinis

Théorème VII. Deux fonctions doublement périodiques monodromes et monogènes , d'ordre fini , et dont les parallélogrammes élémentaires formés d^une manière convenable, sont contenus exactement dans un même parallélogramme y sont fonctions algébriques Tune de l'autre

Corollaire I. Il existe une relation algébrique entre une fonction doublement périodique d'ordre quelconque et sa dérivée.

Corollaire II. Toute fonction doublement périodique du second ordre satisfait à une équation différentielle de la forme

— \ z= U, U désignant un polynôme entier en U du troisième ou du quatrième degré

Théorème VIII. Une fonction doublement périodique, de Tordre 71, s'exprime rationnellement au moyen d'une fonction du second ordre aux mêmes périodes et de sa dérivée

Remarques

Théorème IX. Lorsqu'une fonction monodrome et monogène a ses infinis et ses zéros disposés par groupes égaux et équidistants suivant deux directions différentes, et que dans