On appelle valeurs complémentaires de la variable z

deux valeurs dont la somme est égale à y II existe des relations

très-simples entre les valeurs des fonctions elliptiques pour des valeurs complémentaires de la variable.

La fonction X ( ^ — zj est paire et se réduit à l'unité peur z = o ; ses zéros dz j sont ceux de ^ (z) ] ses infinis -T H 1 sont les zéros de >^ ( 2 ) -, on a donc

Si Ton fait -2 = o, on trouve A = i , et Ton obtient ainsi la relation

La fonction ix Ij — z\ est impaire ; elle admet les mêmes zéros que la fonction X («)> et ses infinis sont les zéros de v (z).

On a donc

Si Ton fait z = 7, il vient B = A' et l'on obtient la seconde rc-

lation

La fonction v I ^ — z\ est paire ; ses infinis sont les zéros de V (-2 ) et réciproquement ; on a donc

En faisant z =: jton trouve C = à', et, par suite.

Quand le paramètre A" se réduit à zéro , la fonction i devient un sinus et la fonction |!x un cosinus^ quant à la fonction V, elle devient égale à l'unité. Voilà pourquoi, outre l'analogie des propriétés, on a comparé la fonction X à un sinus, la fonction jul à un cosinus. L'analogie conduirait aussi à considérer comme un nouveau sinus la fonction fjt (- — -^ J ? et

tomme un nouveau cosinus la fonction ^ ( 7 — zy Relativement à la première période o), ces deux fonctions jouissent de propriétés analogues à celles du sinus et du cosinus. La première est impaire et admet les deux zt»ros «= o, z = -; la

seconde est paire et admet les deux zéros z =iii -7-

X iz] 102. On est conduit aussi à considérer la fonction — 7— ^

analogue à la tangente , et que nous désignons par la lettre C7.

Cette fonction est impaire; ses deux périodes sont - et 201)';

elle admet les zéros de ^(2) et devient infinie pour les valeurs qui annulent ['-[z).

DE LA FONCTION V. Il3

On a

On en déduit

On obtient des fonctions monodromes doublement périodiques du second ordre, en combinant deux à deux, par multiplication ou division, les quatre fonctions v^i rb ) [z) , VI dzk'k[z)'^ d'après ce que nous avons dit, chacune de ces fonctions reste monodrome quand X devient égale à =h i ou à

± T> mais elle cesse de Fétre quand X devient inGnie; toutefois les produits ou les quotients de ces fonctions deux h deux restent monodromes pour toutes les valeurs de z. Parmi ces combinaisons, nous avons étudié spécialement celles que nous avons appelées (x et v. Nous signalerons encore les suivantes

V(i — X) (i — Ali), i/ rj i/ 7-r- Il est clair que les quotients deux à deux des fonctions ainsi formées fourniront aussi des fonctions monodromes doublement périodiques du second ordre j à cette catégorie appartient la fonction cr.

103. Dans le cas où le paramètre g est égal à Tunité , Téquatien différentielle, par laquelle on définit la fonction X, peut se mettre sous la forme

ce qui nous fait voir que la fonction doublement périodique V du quatrième ordre est le produit de deux fonctions doublement périodiques du second ordre. En différentiant les équations

on a , de même ,

Xl4 LIVRE III.

Ainsi on peut définir les trois fonctions i, (ui, v par le système (les trois équations différentielles simultanées

auxquelles on joindra les conditions initiales ;(o) = o, f/.(o) = v(o) = i.