REMARQUES SUR LES MODULES

Modules réciproques»

104. Il existe une relation très-simple entre les deux fonctions elliptiques qui correspondent à deux modules récipro-

ques k et y- Si Ton pose m= — > Téquatîon différentielle

n ii

devient

avec la condition u' = o pour z = o. On a donc

et, par suite,

On en défluit

(2) fi(s, /-) ==vU-2, ij,

(3) v(z,A) = ii(^kz,iy

^lEMAKQtJES SUR LES MODULES. Il5

In vertu des relations précédentes, quand le module est réel, »n peut toujours ramener les fonctions elliptiques au cas où le module est moindre que l'unité.

Modules complémentaires.

105. On appelle modules complémentaires deux modules k et A' tels que A* -t- A'* = i ; le module A étant donné, et la Fonction X(^,A) bien définie, ou choisira le signe de A' de

manière que v ( ^^ | = A'. L'équation

dans laquelle on remplace X et v par leurs valeurs eh fonction de jyi, devient

^= v/(i -,.')(<-*'+*>')=-*' y/('-t*')('+-^f.'); le radical se réduisant à la valeur -t- i pour z^=. jt puisque

Ki)=-(i)-(i)=-"-

Si Ton pose

cette équation prend la forme

dz'

la fonction (x s'évanouissant avec la variable z\ et le radical se réduisant à l'unité. On voit par là que la fonction \k\X — -j-\

est une fonction X de la variable z\ ayant pour module -rj ; on a donc

OU

Il6 LIVKE III.