REMARQUES SDR LES MODULES. II
Imaginons que Ton change le signe du module Ar; ce module nentrant que par son carré dans Téquation diiTérentielIc, la fonction X ne change pas, et Ton a
Ces deux fonctions, en tant que fonctions doublement périodiques, admettent évidemment les mêmes périodes, mais non les mêmes périodes elliptiques. Désignons en effet par a> et o/ un système de deux périodes elliptiques de la fonction A (z,A) ; on obtiendra un système de périodes elliptiques de la fonction 1 (z,— A) en prenant «i = to, «', = co -h c«>', afin que la relation
soit satisfaite.
Nous avons trouvé (n® lOl), entre deux fonctions elliptiques i modules réciproques, la relation "•
Les deux fonctions X [z,k)^'klkZf jU en tant que fonctions doublement périodiques, admettent les mêmes périodes^ mais un système de périodes elliptiques de l'une ne constitue pas un système de périodes elliptiq\ies pour la seconde.
Désignons en effet par w et w' deux périodes elliptiques de la fonction 1 (z,Âr), et par a)|, o!>\ deux périodes elliptiques de
la fonction ^ ( fc^> 7 ) • Si, dans la relation précédente, on fait
Zz
ou -S = jj on a
>(*ri)
on
posera donc
U), ta tù'
fii>l Cl),
Xl8 LIVRE III.
d'où Fou déduit
La fonction X ( Az, 7 j admet pour périodes elliptiques, non
plus û) et &>', mais w — aw' el o)'.
Nous avons obtenu (n° 106) entre les fonctions elliptiques à modules complémentaires la relation
Si Ton désigne, comme précédemment, par w et co'deux périodes elliptiques de la fonction X {Zyk)^ on voit que la fonction X (z,k') admettra les deux périodes /et — aw'i,
mais non en qualité de périodes elliptiques. Si Ion fait
ou
on déduit de la relation précédente
Pour avoir les périodes elliptiques de la fonction 1 [z^h!), on posera donc
d'où
Ca5 OiV le module est réel,
108. La fonction elliptique a été Tobjet des remarquables travaux de Lcgendre, d'Abel et de Jacobi! Legcndre a étudié
