REMARQUES SUR LES MODULES

plus pariiculièrement le cas où le module est réel et moindre que l'unilé.

Dans ce cas, la fonction inverse, donnée par l'intégrale définie

ne reste réelle que si u varie de — i à -H i ; si l'on pose

u = sin f ,

il vient

en désignant par Aç le radical ^i — fe'sin'y. Legendre, qui ne se s'occupait que de la quadrature ou de la fonction inverse, regardait l'angle y comme l'amplitude de la valeur z de l'intégrale définie. Jacobi, qui, avec Abel, a le premier considéré la fonction directe u, a été conduit d'après cela à représenter cette fonction directe par le symbole sinam^ (c'est-àdire sin (p, ou sinus amplitude 2) ; il représentait de même la fonction fx (z) ou cos y par cos amz^ et la fonction v (z) ou Aç par ^amz. Mais nous préférons conserver, même dans ce cas particulier, pour représenter les trois fonctions directes, les signes X(z),/i{2),v(z), qui sont beaucoup plus simples et plus commodes dans le calcul.

109. Lorsque le paramètre X: est réel et moindre que l'unité (nous le supposerons positif), si Ton choisit les périodes elliptiques particulières indiquées au n^ 84, on voit que la première période

est réelle et positive -, la seconde

sin^f

^,__^ r^ du ^. r^ du

est imaginaire. Si Ton pose

X» -4- X'» = I , it' «« 4- /'* II" = I , celte dernière intégrale devient

Le module complémentaire A' étant aassi réel et moindre que l'unité, la fonction X (Zfl^) admet également une période réelle positive Wj et une période imaginaire (ù\. En vertu de la formule précédente, on a

La période imaginaire de la fonction X (z,k) égale la moitié de la période réelle de la fonction A (2, A^), multipliée par /.

110. Il est à remarquer que, dans le^cas particulier que nous considérons en ce moment, la fonction elliptique X [z) est réelle çt moindre que Tuiiité, pour toutes les valeurs réelles de la variable z. Car u variant de o à i eu ligne droite, z varie de

o.à y aussi en ligne droite j réciproquement, quand z marche

sur Taxe ox de o à y» zi reste réelle et croît de o à i . En vertu

de la formule

on voit que, lorsque la variable continue son mouvement sur

Taxe ox de 7 à - » la fonction reste réelle et décroit de 1 à o. 4 a

La formule

montre ensuite que de - à co la fonction devient négative, dccraissant d'abord de o à — i, puis croissant de — 1 a o. De Ck)

REMARQUES SUR LES MOOULEi. 121

à a Cl), elle repasse par les mêmes valeurs que précédemment, et ainsi de suite indéfiniment.

Les deux fonctions (x [z) civ[z) sont aussi réelles et moindres que l'unité pour toutes les valeurs réelles de r. La fraction [i décroit de -f-i à — i, quand z varie de o à -» puis elle croît de — i à -f-i, quand z varie de - à o). Quant à la fonction V, elle reste non-seulement réelle, mais encore positive et moindre que l'unité. Nous avons déterminé (n° 100) le signe

du module complémentaire A' par la condition v ly] =k'y

c'est donc la valeur positive qui entre dans nos calculs.

111. Si l'on donne a la variable z des valeurs imaginaires de la forme 2' /, 2' étant réelle, la fonction sera imaginaire et de la forme u^i. Car si Ton pose

w=: a'/, 1/ étant réelle, on aura

/•"' du'

Réciproquement, quand la variable z marcbe sur Taxe oj de o à — :? la fonction // prend des valeurs de la forme u'/, u' croissant de zéro à l'infini.

Les deux fonctions fx (2) et v(-z) restent réelles. Quand x

varie de o à — » ces deux fonctions croissent de H-i à -4-ao ; x

variant ensuite de — à «', de w' à — , de à aw', elles crois-

sent de — 00 à — i , pour décroître de — i à — 00 et de -f- oo à -f-i; au delà les mêmes valeurs se reproduisent périodiquement. La manière dont nous avons choisi la seconde période w', qui est égale à une quantité réelle positive, multipliée par ^', s'accorde avec l'hypolhèse faite au n° 100; car, de l'équation (i4), n^ 102, on déduit u ( zj = -pr' et, quand z

I20 ûtu m.

est imaginaire. Si loii pose , .

*^ f'^'alc a une quantité po-

^/c' de trouver les valeurs de

cette dernière înUiffraled'- .•'■" n • j .

® .>/iues celles qui correspondent

X, ."''fies relaiiousdu n° 106 donnent

Le mod*

que l'ur /n* '^'^^ comment on peut exprimcir les va-

j^\^ , fi'^'^tis elliptiques pour des valeurs imaginaires

fnr 'V' ^ jJa variable, à l'aide de valeurs qui correspon-

'*^t'/'^"^ i,,tjjs réelles de la variable.

^^^ ^j-amener au cas du module réel celui où le module ^^ Ijiaire et de la forme A /, au moyen de la formule (4)

do"