DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS ELLIPTIQUES EN SÉRIES DE FRACTIONS

Méthode générale pour le déi^eloppement des fonctions en fractions rationnelles.

H2. Sohf[z) une fonction monodrome et monogène dans Fig. 21. une certaine portion du plan, mais

devenant infinie en certains points.

Marquons un point quelconque t [fig. Il) dans cette portion du plan, nous aurons

l 'intégrale définie étant prise le long de la courbe fermée qui limite le contour de Taire plane considérée, et le signe résidu s'appliquant à tous les points tels que 2 = a , qui rendent la fonction f{z) infinie dans cette portion du plan. On en déduit

(.) /i:) = im+^ Çûîlt.

t — z itA J z — t

Supposons maintenant que l'on augmente indéfiniment, et dans tous les sens, la courbe fermée suivant laquelle on effectue l'intégration, de manière qu'elle embrasse tout le plan, la première partie du second membre, ou la somme des résidus, sera convergente, si le second terme, ou le reste que nous représenterons par R, a pour limite zéro. On peut simplifier

ia4 LIVRE IV.

Texpression de ce reste *, la courbe étant infiniment grande, on aura, sur cette courbe,

dz.

e désignant une quantité infiniment petite, et par suite

t?.nij z — t 27ziJ z 2ni J 3*

Si, le long de la courbe variable, le module delà fonction /(z) reste moindre qu'une quantité finie, la seconde partie du reste a pour limite zéro, et l'on se bornera à considérer la première partie

27rlJ Z

application aux fonctions coséc z et sécz.