Appliquons la formule précédente au développemeut

de la fonction f{z) = -: — 5 qui devient infinie pour les valeurs z = m'n (m désignant un entier quelconque positif ou négatif), distribuées uniformément sur Taxe des x. Intégrons suivant le contour d'un rectangle formé par des parallèles à

Taxe desj , menées à la distance m'Ti H — de l'origine , et par

des parallèles à l'axe des x à une distance très-grande arbitraire Y. On reconnaît aisément que le module de la fonction coséc z est moindre que Tunité sur les premières parallèles, et très-petit sur les dernières. Il en résulte que la seconde partie du reste a pour limite zéro, quand on fait croître m' et Y indéfiniment. Quant à la première partie, elle est identiquement nulle-, car, la fonction étant impaire, les éléments différentiels, qui correspondent à deux éléments du rectangle symétriques par rapport au centre, sont égaux et de signes contraires. Ainsi la fonction proposée se développe en une série convergente. Pour évaluer le résidu relatif à un infini quelconque mnàc

la fonction-: — ? posons z=zm7:-h z\ et considérons Tintésm z *^

DÉVELOP. DES FONCT. ELLIP. EN SÉIUE DE FRACTIONS. lîiS

grale déflule

I r dz^ (— i)" r d£

5^-J (/--z)sin«~" 27ri J (^ — /WTT — 2')sin z'^

prise le long d'un cercle infiniment petit décrit autour du point mir •, on peut réduire cette intégrale à

t — mn 2n i J z* t — /wtt On a ainsi, en vertu de la formule (i),

sm / ^^ t — /w TT

ou, en remplaçant t par z,

(3) ^ = lin, y ^~'^"

^ ' sm 2 ^-^

2 — niTZ m= — m'

En groupant deux à deux les termes fournis par des valeurs de m égales et de signes contraires, on obtient la formule connue

Si dans la formule (3) on remplace z par z » il vient

= lim > î^ ■ =rlim > ' •

ces 2 Jkd . .1^ émà , ,1T

Nous avons ajouté un terme infiniment pelit à gauche de la double série convergente, celui qui correspond à m = — w! — i , afin d'avoir autant de termes d'un côté que de l'autre. Le groupement des facteurs conduit à l'expression

^ ' rosz ^

m=cc

-os z ^^ . \, ^ ,

r=0 (2/ll-+.l)'~~2»

j4 pplication aux Jonctions cot z et tang t,

\ 14. Les infinis de la fonction cot z ou -; — sont les mêmes

sinz

que ceux de la fonction précédente. On intégrera suivant le

même rectangle^ le module de la fonction cot z étant moindre

que Funité sur les premières parallèles, et diflérant très-peu

de l'unité sur les autres, la seconde partie du reste a pour limite

zéro -, d'ailleurs , la première partie est nulle , puisque la

fonction est impaire. On aura encore une série convergente.

Pour évaluer l'un quelconque des résidus, on posera \

z = mn-hz\ et Ton considérera l'intégrale définie |

2n i J t — z 27r/J / — mn — z

prise le long d'un cercle infiniment petit décrit autour du point z = mTT 5 cette intégrale se réduit à

t — m'jv in i J z' t '

■mn On a donc

(6) col s = iim \^ >

^ ' ^6-rf z — m n

nf=z — m' et, si l'on groupe les termes deux à deux,

(7) cotz = --|-2zV r— .

En remplaçant z par z ? et ajoutant un terme infiniment

petit, on déduit de la formule (6)

(8) tang 3 =r — lim \^ 1

d'où

(9) tangz:~9.z 2 —-t

DÉYELOP. DES FOHCT. ELLIP. EN SÉRIE DE FRACTIONS. I 27

jéppïicalion à la fonction X.

115. La fonction X [z) est impaire; ses infinis sont représentés par la formule

zz=zm — H(2/î -t-ij — > 2 ^ a

dans laquellem et n sont des nombres entiers quelconques, posi- Fig. 22. lifs ou négatifs. Portons dans

la direction de la première période &), et de part et d'autre de Torigine [fig- 22), une longueur OA, OA', égale à

m - -1- -T» et, dans la direction 2 4

de la seconde période, une longueur OB, OB', égale à (n'-h i) w'. Nous formerons ainsi un parallélogramme CDEF, le long duquel nous effecluerons l'intégration . La fonction / [z) conserve évidemment une valeur finie sur le contour du parallélogramme 5 ainsi la seconde partie du reste a pour limite zéro, quand on fait croître m' et ?i' indéfiniment; d'ailleurs la première partie est identiquement nulle, puisque la fonction est impaire.

Pour évaluer le résidu relatif à un infini quelconque, il suffit de poser

«=/ii--f- (2/24-1) — h»;

d'où

et d'intégrer le long d'un cercle infiniment petit décrit aulour du point z = m--H(2/2-Hi)— > ce qui donne

(~i)'" i rdz' (— I)'"

il » / . \«^'\*^'^'J ^(2')"" , / » / vW'\'

ia8 LIVRE IV.

On a donc

(,0) X(z) = limi 2 2

Pour ramener cette somme double à une somme simple, nous grouperons les termes par files parallèles à la direction (ù. On a, en vertu de la formule (3),

Mm y — bii; — =i^.iim y tuL- -

sm ( (2 /i -i- i) TTp I

d'où

=-„'-, sinf?^— (2/H-i)irpj

Nous avons vu (n° 72) que les deux parties de cette série, prolongée vers la droite ou vers la gauche, sont séparément convergentes. On écrira donc

nssoo 2 TT

n=-oo *^"(-;;; (2/l-4-l)7rp j

En groupant les termes deux à deux, on en déduit

n=oc

. , ., V 8ff . 27r2 v^ COS(2/i -t-l)7rp

(12) >(2) = -j— sm > i '—^ .

n=o C0S2 (2/ï 4-l)7rp — COS

Jacobi représente par q la quantité e*^^* ; si dans l'expression du rapport des périodes p = — = r-f-.v/, rapport toujours

imaginaire, la quantité s rst positive, la quantité q a sou me dule moindre que Tunilé; en introduisant cette quantité dans

DÉVELOP. DES FOKCT. ELLIP. EN SÉRIE DE FRACTIONS. 1 29

a série (i a), on est conduit à la forme

-.3) M«)=-:^siniiL^"y ri^+9"^') ,

n^o ' — 2 7'""*"' CDS ^ h <7'(2»+0

donnée par Jacobî.

Application à la fonction p..