Proposons-nous maintenant de développer la fonction
impaire fx (^ — ^ ]• Intégrant le long d'un parallélogramme
<juia pour centre l'origine, on verra, comme précédemment^ <jue le reste est nul. Les infinis de cette fonction sont donnés par la formule
dans laquelle il faut faire varier m de — m' — i à m' et n dé — «' — I à n\ Pour évaluer le résidu relatif à l'un quelconque de ces infinis, on posera
z= (im -1-1)7-1- (2/14- i) h 3 ;
d'où
^t, en vertu de la formule (8) du n** 100,
Prenant l'inlégrale le long d'un cercle infiniment petit décrit lutour du point considéré , on aura pour le résidu corresponlant
3n a ainsi
-;\ = -i.iim y {-,)« y 1:^ ,
l3o LIVRE IV,
et, en lemplaçaiil z — j par z,
(,4) f*(4=-ii«i 2 ("^^'^ 2 ■;, i^'
En supprimant un terme infiniment petit à ganche, ce qmi n'a pas d'inconvénient, an a, comme précédemment ,
sm I (a/r 4- i)icp 1
et, par suite,
ii=-n'-ï sm — (in -H ijirp j
ou, plus simplement, d'après ta remarque déjà faite,
Si Ton groupe les termes deux à deux, on obtient la série
, ^, , V Sttt 27rz v^ (— l)*sm{2»-|- l)7ro
(16) Pt(2) = ; — COS • > ^ ^^ —^, 9
n = o^®® 2(2/? -f- l)irp — GOS —
que l'on peut mettre sous la forme
n=oo
(17) p(3 =— L-I ces . > ^ ' ^ \ i i
„.0 f — 2<72«+' COS-Ï^ f-é^' (*«+«)
application à la fonction v.
H7. Considérons actuellement la fonction impaire
DÉVELOP. DES FOACT. ELLIP. EH SÉRIE DE FRAGTIOlfS. l3l
Intégrant le long d'un parallélogramme qui a pour centre rorigine, on verra encore que le reste est nul. Les infinis de la
fonction v f z + — j sont représentés par la formule
dans laquelle il faut faire varier m de — ni à m', et /i de — n' à ri. Pour évaluer le résidu relatif à un infini quelconque^ on posera
d'où
d'après la formule (9) du n** 100; on trouve ainsi pour le résidu
t — m nvi
et par suite
OU, en remplaçant z H par z,
(.8) v(,)=-/lim 2 (-')" 2 ■ '■ .
En vertu de la formule (6), on a
fil— m
lim V ? = — cot -^^ — (2«4-i)7rp .
m=-m' Z— (2/l-hl)--m- L J
On en déduit
(19) v(2)= — i^'hm 2 (— 0*»^^^»^r ^-(2«-M)7rpT
li-2. LIVRE IV.
Les termes de celte dernière somme ne deviennent pas infiniment petits, quand n augmente indéfiniment; mais ils tendent vers zh/. Il est facile de remédier à cet inconvénient j si Ion fait 2 = o, l'équation (19) donne
1= lim V (--i')'*cot(2«-+-i)7rp.
On en déduit
I— >(«)= — lira y* ( — i)'»Jcot(2/?-f-i)irp-f-cotj (2/^4-l)7r.« »
ou, plus simplement, (20)1 — >(«) = — sin — •lim y . i= — '-
Cette série ne présente plus le même inconvénient que la précédente •, les termes tendent vers zéro. Si Ton ajoute un terme à gauche, ce qui est permis maintenant, et si Ton groupe les termes deux à deux, on a
, . , . Snr , 2nz yr\ ( — l)" COt (2 «-f-l)7rp
(21) 1— V 2)= sin' > —7-^ i ^ —f—y
„Q COS 2 ( 2 « -h l) irp — ces - —
cette formule donne celle de Jacobi
(22) I — v(3)=: sm' . > 1 ï i-
„0 I —2 9"»-*"' COS -î hy'^"'*''^
^application à la fonction ts.
H8. Le développement de la fonction impaire vs (z) 11e présente aucune difficulté. Si Ton intègre le longd^un parallélogramme ayant pour centre Torigine, le reste est évidemment nul. Les infinis de la fonction xs [z] sont représentés parla
DÉVELOP. DES FONCT. ELLIP. EN SÉRIE DE FRACTIONS. l33
ibrmule
z=z[2m -hi)^ -h/iw,
<lans laquelle m varie de — rr/ — i k m, nàe — n! k ri , Si Ton
pose
on a
,{.) = (-.)"^(^4-.') = -,Liil,
') «1 vertu de la formule (i3) dun*' 102. On obtient de la sorte
n=in' m=m'
.(z) = -i|im 2 {-')" 2 '■ '
d'où
(23) u{z) = ^ 2 (-O'tang^^-a^Trpj,
Cl, en groupant les termes deux à deux,
— I tang h 2 sm -^^ — • > ^ 7 — 1 ?
W I W w Airf 47r3 I
I fl o cos 4 « ffp 4- ces -î^ — J
ou bien
tang ^-4sm=î— . > ^^ L-l .
«=0 H-27 co«-î-^ -1-<7*"J
il9. Dans ce qui précède nous avons supposé le paramètre g égal à l'unité ^ les fonctions elliptiques dépendent du seul module k ou du rapport p des périodes. Nous avons vu comment on exprime les deux périodes, et par suite leur rapport en fonction du module à l'aide d'intégrales définies. Réciproquement, on peut, à l'aide d'e séries, exprimer le module k en fonction du rapport p des périodes supposé connu .
l34 LIVRE IV.
En effet, si dans la série (i i) on fait z = y -\ » il vient
n=oo n=:oo
(26) w=:2ir V i =27r(H-2 V î |
«^^ COS 2 /t Trp \ iU cos 2 /i frp/
Si Ton fait ensuite z = yy il vient
« -fcirf COs(2w-t-l)irp w -^ COS{2/l-4-l)îrp
n=co n=o
La série (26) donne la première période de o), la série (27) donne ensuite le module k.
En faisant z = o dans la formule (17), on a de même
* = r^-i= Vin
il en résulte l'identité
Quand on donne le rapport des périodes, les périodes ellesmêmes, et le module /r, sont complètement déterminés. Mais la réciproque n'est pas vraie ; quand on donne le module A, le rapport des périodes peut recevoir une infinité de valeurs ; car, si Ton remplace les deux périodes o) et to' par un système de périodes ollipliques équivalentes
b)\=z 2 C w -f- ( 2 rf -f- I ) w',
DÊVELOP. DES FONCT. ELLII». EN SÉRIE DE FRACTIONS. l35
on a un nouveau rapport
dans lequel a^ ft, c, dsoni des nombres entiers quelconques, assujettis seulement à vériGer la relation
