CHAPITRE IL

DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS ELLIPTI4JUES EN PHODVITS D^VN NOMBRE INFINI DE FACTEURS.

méthode générale pour le déi^eloppemenl des fonctions en produits eTun nombre infini dejacteurs.

120, Nous commencerons par établir quelques principes très-simples relatifs à la convergence des produits d^un nombre infini de facteurs.

0)nsidérons le produit indéfini

dans lequel nous supposons que les lettres a«, ûi, ûiv désignent des quantités réelles positives. Pour que le produit des m premiers facteurs tende vers une limite finie et déterminée indéfiniment, il faut d'abord que le facteur général i-(-a^ tende vers Tunité, ce qui exige que a^ tende vers zéro. Mais cette condition n'est pas suffisante \ il faut en outre que le produit

{i-h<î«,){i4-««-Ki) .-. {i-+-a«+«-.i),

d'un nombre quelconque de facteurs, pris à la suite des m premiers, ait pour limite l'unité, quand m augmente indéfiniment. Il est facile de voir que, lorsque la série

est convergente, le produit

l36 LIVRE IV.

est également convergent. On a, en eiïiel,

et par suite

s désignant la somme des termes de la série. Le produit augmente avec le nombre des facteurs, et reste constamment inférieur à e" ; il tend donc vers une limite finie et déterminée.

D'ailleurs cette condition est nécessaire pour la convergence du produit, car on a

(i-|-«o)(i+«i) ... (i-h<7m-.i) >«o-*-o,-f- .. . 4-û«,; si cette dernière somme augmentait indéfiniment, le produit augmenterait aussi indéfiniment.

Il résulte de ce qui précède que si, k partir d'un certain rang, la quantité l^a^ reste constamment moindre qu'une quantité fixe inférieure à l'unité, le produit est convergent.