Considérons maintenant un produit

de facteurs imaginaires. Appelons Oq^ ^19 âsv***9 1^^ modules des quantités imaginaires 1/09 Uu u^^ — Si le produit des facteurs réels

(H-a.)(i4-fl,)(i-|-a,)...

est convergent, le produit des facteurs imaginaires est aussi convergent. Le module de

(l-HW/n) (1-4- Wm+i) • . . (l4-«m+n-i) — I

est en elTet plus petit que la quantité

(l-+-^«,) (1-4- ««,+ ,) .. . (l-|-fl«,+n,) — I,

qui est infiniment petite.

Il est à remarquer que si la condition précédente est rempli^i le produit

DÉVELOP. DES FONCTIONS ELLIP. EN PRODUITS. iZj

est convergent, quelle que soit la valeur de z i ce produit définit donc une fonction finie et monodrome dans toute l'étendue du plan. Nous allons faire voir que cette fonction est en outre continue et monogëne ; en effet, désignons par P„ le produit des n premiers facteurs, qui est une fonction monogène; il vient, en prenant la dérivée ,

K==^nx y -^ —

Quand n augmente indéfiniment, on a une série convergente, et F„ tend vers une limite finie que nous appellerons P'. On a

6 tendant vers zéro quand n augmente indéfiniment; d'où

f V\dz= 1 Pn.dz+ j srf2=P„— i-h I edz.

Si Ton fait augmenter n indéfiniment, il vient

Frfz=r/(z)— I.

On en conclut

par suite, la fonction y*(2) est monogène. Ainsi la fonction f{z), définie par le produit considéré, est une fonction synectique dans toute l'étendue du plan.

122. Après avoir rappelé ces principes , nous allons exposer une méthode très-ingénieuse imaginée par M. Cauchy pour le développement des fonctions en produits d'un nombre infini de facteurs.

So\lf[z) une fonction monodrome et monogène dans une certaine portion du plan; comme nous l'avons vu (n° 69), le

quotient ^ , n'admet que des infinis simples, savoir les zéros

elles infinis de la fonction /( 2). Désignons par a un zéro quelconque de la foncliony(2) dans cette portion du plan, par

Fig. 23.

p son degré ^ et de même par a un infini quelconque , et par q son degré. Marquons d'ailleurs un point quelconque t dans cette portion du plan ; nous aurons

l'intégrale définie étant prise le long de la courbe fermée qui limite le contour de l'aire plane considérée, et dans le sens de la flèche.

Si maintenant nous multiplions les deux membres de cette équation par dt^ et si nous intégrons àet^ht (fig' 23) (fo étant un point fixe situé aussi dans l'intérieur de l'aire), suivant un chemin déterminé , par exemple suivant le chemin rectîligne , il viendra

^^ ce

-2'''»erir7;+2«'»ej=7.'

d'où Ton déduit la formule

^.ogî:

(s) "z — U (|ue l'on peut écrire de la manière suivante

dz.

=nM'x.-^./^-«.^>'.

la lettre JT désignant un produit de facteurs.

On suppose que la droite t^t ne passe par aucun des points qui rendent la fonction/ («) nulle ou infinie. En outre les logarithmes qui entrent dans cette formule se réduisent tous à zéro

DÉVELOP. DES FONCTIOKS ELLIP. EN PRODUITS. iSq

pour f = «0 et prennent ensuite le long de la droite des valeurs parfaitement déterminées que Ton suivra par continuité. Dans le cas particulier où f^ = o, cette formule devient

Supposons maintenant que Ton augmente indéfiniment, et dans tous les sens, la ligne fermée suivant laquelle on a effectué Fintégration , de manière qu^elle embrasse tout le plan , le produit sera convergent, si le facteur complémentaire, ou Fexponentielle, tend vers l'unité , ce qui exige que l'intégrale définie

prise le long de la courbe, ait pour limite zéro. On peut simplifier cette expression. Le module de z étant plus grand que

celui de t tout le long de la courbe, log ( i 1 se développe

en série convergente, et l'on a

s désignant une quantité infiniment petite. D'après cela , la quantité R devient

Si le module de la fonction i>f J est moindre qu'une quantité

finie sur la courbe variable, la seconde partie de R tend vers zéro , et l'on se bornera à considérer la première partie

± r /'jz) dz

Lorsque la fonctiony(2) est paire ou impaire, la fonction -jrrr est impaire 5 si 1 on intègre le long d une ligne qui a poi

ur

Fiig. 24.

l4o LIVRE IV.

centre Torigine, cette dernière intégrale, ayant ses éléments égaux deux à deux et de signes contraires, est nulle-, dans ce cas, la fonction /(^) se développe en un produit convergent.

jipplication au cosinus,