La fonction paire cos z ne devient infinie pour aucune

valeur finie de z \ elle admet les zéros simples

situés sur Taxe des x à égale distance les uns des autres [fig. 24). Intégrons le long d'une circonférence décrite de l'origine comme centre, avec un rayon égal à (m'-hi) ïï.

Pour évaluer plus facilement le module, nous substituerons au cercle un rectangle formé par des parallèles à l'axe des y h la distance (m'-hi)7r de part et d'autre de l'origine, et par des parallèles à l'axe des x à une distance très-grande. Le

module de la fonction •^rrr-p = — tang z étant moindre que

l'unité sur les premières parallèles et différant très-peu de l'unité sur les deux autres , la seconde partie de R a pour limite zéro. D'ailleurs, celte fonction étant impaire, la première partie est identiquement nulle. On a donc

cos e = lim TT

wi= — m'-

ou, en remplaçant f par 2,

wi=m'

(3) cos 2 = lim TT

Tn=:—m' — I

Si l'on groupe les facteurs doux à deux , on obtient la for-

DÉVELOP. DES FONCTIONS ELLIP. EN PRODUITS. l^l

mule connue

(4) <'<'" = Il['-(2m + .)',r'J"

in=o

^application au sinus.

124. On effectuera d'une manière analogue le développement de la fonction paire f(z) = 9 qui ne devient infinie

pour aucune valeur finie de z^ et qui admet les zéros simples zz=: wTT, à Texception de ^ = o. Si l'on intègre le long d'un cercle décrit de l'origine comme centre , avec un rayon égal

à tw'tt^- -î nous verrons , comme précédemment , que la se-

conde partie de R a pour limite zéro, de même que la première partie

airij /(.) z 2i,iJ\ Z z'J

que Ton peut réduire à

On a donc

cor z , dz.

m recevant toutes les valeurs entières de — m' à m', excepté m = o.

Si Ton groupe les facteurs deux à deux , on obtient la formule connue

(6) sins