COS
-v-=»"' II r» — - — i
27rA Ai I w I
application à la fonction v.
126. Nous allons nous occuper maintenant du développement des fonctions elliptiques. Nous commencerons par la fonction y[z)\ celte fonction est paire; elle admet les zéros
simples a == (2m -|- 1) -^ -f- (an 4- i) 7- et les infinis simples
DÉVELOP. DES FOWCTIOWS ELLIP. EN PRODUITS. l43
a = m- -h {^n -h i)-»A partir de l'origine, portons dans la
Fig 26. direction de la pre-
fp / / / /b / / I Cl' mîère période, et de
part et d'autre, une longueur OA , OA'
égalcà(m'-hi)^— g^ /V ^ . i . ^ .^i . ^ - ^ • ^ W/ et de même dans la
direction de la seconde période une
1^ I , , , B> ' ' r/ longueur OB, OB'
égale à (»'-f-i )&)'•, nous formerons ainsi un parallélogranune CDEF {fig. 26), suivant le contour duquel nous effectuerons l'intégration. L'intégrale
HitiJ v{x) z 7.1:1 J zyf[z) *
ayant ses éléments égaux deux à deux et de signes contraires, est nulle. On a donc
(2/WH-l)7 -|-(2/l 4- i) —
(8) v(.)=limn ^ ^•
Quelle que soit la manière dont on fasse augmenter mein indéfiniment, ce produit tend vers la même limite v (z). Si l'on considère ce produit comme le quotient de deux produits, formés^ l'un par les facteurs du numérateur, l'autre par les facteurs du dénominateur, chacun de ces produits tendra vers une limite distincte^ mais cette limite dépend de la manière dont on fait augmenter m et n indéfiniment. Nous supposons que l'on fasse augmenter indéfiniment, d'abord m, puis n 5 ce qui revient à grouper les zéros ou les infinis par files parallèles à la direction w.
l44 LIVRE IV.
427. Examinons d'abord le produit des facteurs du numérateur, produit que nous représenterons par 6 (z) 5 nous posons
(9) 0{.)=ii,n n n r-^ — ,.' J
Si dans la formule (7) on fait A = (2 /i +1) — , il vienl
[27r« , , 1 ( 2 1 H- 1 ) Trp I
COS(2/l +l)7rp '
en substituant, on a
"=«' cosr^^~(2/i+i)7rpl (10) e(z)=lim 17 — LJî.^ ^ i.
^ ^ ^ ' IJ. cos(2 71 -M)7rp
Si l'on groupe les facteurs deux à deux, ce produit s'écrit
ces
h ( 2 /H- I JTrp ces ( (2 Tî -{- 1 ) Trp
„^,,= , , 1 J LîL J,
^ ' A A cos'( 2/? -f-iJTTp
OU, plus simplement,
(II) e(») =
-Ia L ces' (2/1 -M) Trp J
Sous cette dernière forme il est aisé de reconnaître la convergence. On ae n effet
^( 2/1+1 )7r/>i^ ^^'m^\)npi
ces (2 /i -|-i)7rp =
si, dans le rapport des périodes, p = r-f- 51, la quantité s est positive, on écrira
ces ( 2 « 4- 1 ) îrp = -i l .
bÉVËLOPP. DBS FONCTIONS ELLIPT. EN PRODUITS. l45
d'où
cos'(a/i-Hi)7rpJ ""
lim -— — I =:r^'^^;
cette quantité ayant un module moindre que Tunité, le pro^ duit est convergent. Si la quantité s était négative, on trouverait pour limite c"^"^*, et Ton arriverait à la même conclusion. Ainsi, dans tous les cas, la formule (ii) définît une fonction synectique dans toute Fétendue du plan.
iâ8. Considérons maintenant le produit des facteurs du dénominateur, produit que nous désignerons par 0i. On a
Si dans la formule (7) on fait h = — -j-h (2 »-+-i) — ? il fient
[27rz îT , .1 1 (a/î-hlJTrO
cos| (2 «4-1
11 n y a aucun inconvénient à remplacer par — nJ la limite inférieure, qui est ici — m' — i ; ceci revient à négliger ]e facteur
(pi tend vers l'unité, quand tnf augmente indéfiniment. On a . donc
cosi
[27tz n , , n 1 {2«-4-i)trp I -' — ""• 11 — r^ T^'
fi=-n'-i ces - — (2H-4-l)7rp
l46 LIVRE IV.
En groupant les facteurs deux à deux, on écrira
~" 1-1 L sm^in -l-i)ïrpj '
et Ton démontrera la convergence comme précédemment. Ainsi la fonction v est exprimée par un quotient de deux ftmctiofls syneetîques,
application à la fonction (i, 129. La fonction paire fJt (r ) admet les zéros simple»
et les mêmes infinis simples que la fonction v (z). En intégrant le long d'un parallélogramme analogue au précédent, on verra de la même manière que Tîntégrale
est nulle. On a donc
(i6) f.(zj=lim Jl i
Les facteurs du dénominateur forment la fonction Q^ (z)'^cevL: du numérateur forment une nouvelle fonction syneçtique qtt< nous appellerons 6i{z)j
n=.n' mzzim'^
(1-2) 0,(z) = linî
n n r-; — fz — 1
DEYELOP. DES FONCTIO^S ELLIPT. ES PRODUITS. l^y
Si dans la formulé (j) on fait A =ïi it c^, il vient
€t par suite
/2nz \
"=^ ces
(i8) «,(r) = Hm IT
■■-■■■ COS 2 Ttirp
ott, en groupant les facteurs deux à deux,
(.9) 6,(z) = cosiiLf n l' —)■
» -■--■- \ ces' 2 /ITT/)/
Il en résulte
application à la Jonction i.
130. La fonction A (z) s'annulant pour z=o, nous dédui* rons son développement de celui de la fonction Mfltfîi^ Sdontles zéros sont a=:—z^^m^^ ww'. On aura ainsi au numérateur del(z-h z^) la fonction
j iiïsn' mz=m'
H.,)un, n n /« '- — V
Si dans la formule (7) on fait A ^ — i^o — 7 4- «w, il Vient
m=— /II'— ) \ — z^-\- m- -^ nta' t
[Hit [z -^ z^ 'Tt 1 ^ --\ 2«7rp
faitZo TT \ '
COS I 1 2 //wp I
l48 LIVRE IV.
el, par suite, le numérateur prend la forme
cos
A^*.;.u„ Il — îî r-J.
^ ^ 11 /27rz, n \
