M«)=II

"=« I — 2 ^»»+' cos 4^ + yn»«-i-o

M— m A.Tt z

"-** I -h 2^^-COS-!^ f-V*"

0j(3)=COS Ëi ; ; >

- - '. iirz

I — 27»" cos-î h Ç' ^ "

*v / \ " . 2 JTZ TT

27r w Ai

l5o LIVRE lY.

Ces fonctions ^nt celles qui ont été trouvée» par AMei Jaoobi , à des facteurs constants près. Mais nous préférons, pour étudier leurs propriétés , les conserver sous les formes (lo), (i3), (i8), (21), sous lesquelles elles se sont présçnlées d* abord , et que nous écrivons de nouveau :

'*="' ces I — (2 « -4- i)vp I

e(z)=lim n ^--^ r =^,

^ ^ A A . COS (2/2*1- l)7rp

(ni)

co» — -H---(2n + i)«J

n=-n'-i ces I - — (2» 4- i),rp

»— n' / 2 ir z \

"~" ces I 2 « Trp I

9,(3) ^lim fl V^î i,

^ ^ A A cos 2 « irp

" " cos ( 1 2 « irp )

n=—n' COS ( - — 2/Î1T/: j 1

en convenant que, dans cette dernière formule, le diviseur

qui correspond à « = o , au lieu d'être nul , est égal à — — •

Si , dans les deux dernières formules , on remplace l'indice inférieur — n! par — ri! — i, afin de le rendre le mémf que dans les deux premières , nous introduirons un facteur nou-

veau cos

— -f- 2 («'-+- i)icp cos ^--4-2(/l'^-|)7rp

^--^ ^ ou ^ Ytr T^'

cos j - 4- 2(«'4-i)7rp

COS2(/l'4-l)7rp

2 "ît SI

qui devient égal à e ^ , quand n' augmente indéfiniment, la quantité 5 étant toujours supposée positive. On pourra donp

DÈVELOP. DES FONCTIONS ELLiPT. EN PRODUITS'. l5l

mettre les deux fonctions d^ , 9, sous la forme

""""' ces

/27rz \

. \9,iz) = e " lim n — ^^-^^ ^

I •■--■- cos 2 « jrp