PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION
132. Nous avons fait voir que Ton peut exprimer les fonctions elliptiques à l'aide de quatre fonctions synectiques comprises dans la forme générale
2hitz i »*=»' ces I k- a (a/iH- 1 — ^) wp 1
{i)s(zU,= e- lim U — Y4^ =r*-
„=„'-i cos|^£ï-— (2/i-Hi"-6)irpJ
Nous nous proposons actuellement d'étudier les propriétés de cette fonction 0, qui dépend des deux indices entiers a et b.
Nous remarquons d* abord que toutes les vs^leurs entières des indices se ramènent aux deux valeurs o et i . En effet, si Ton augmente Findice a de deux unités, on augmente Tare de TT ; les deux termes de la fraction changent de signe, et U fraction conserve la même valeur. On a donc
D'un autre côté, si Ton remplace b par ft-|- a, on a -
2*^ 4^i «=«' cos F— + û - — (2 «- 1 — *>rpl
e(^)a,^,= ^ " ^ " lim U *- <^ ^ ^ J^
„=-.„', cos «^-^ (2«— I— 3)irp
On introduit ainsi dans le produit un facteur nouveau, celoj qui correspond à n = — n! — i, et l'on supprime au contrair^ï le facteur qui correspond kn^= nf ]le premier,
cos
cos «--+-{2«'-h3-4- A)irp
a pour limite c ** , quand n' augmente iudéfiniment ^ le se^
PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION 0. l53
cond,
[27rz ^ / / . r\ 1 \-a (2/1' -4-1— b)itp I
ces I tf (2 /î'-4-i — à)icp\
a pour limite e ** , en supposant toujours s positive. Par cette
modification , le produit est multiplié par e " •, le facteur
€ ^ étant introduit en avant, rien n'est changé dans l'expression^ et l'on a
(3) efl,i4.î=0a,i.
Ainsi la fonction n'admet, que quatre valeurs différentes, celles que nous avons examinées précédemment.
133. Sur les expressions (I) du n** 131 , on voit que les trois fonctions d, di, 6^ sont paires, et se réduisent à Tunité pour ^=;=o ; la fonction 6^ seule est impaire et s'évanouit avec z. Sa dérivée devient égale à i pour z = o. On a en général
Les deux fonctions d, dj admettent la période - ; les deux autres ds,0s admettent la période o), mais elles changent de signe quand on augmente z de — On a en général
Si , dans la formule générale^ on remplace z par z + co', il vient
2^ «="' cosr^^4-fl--.(2/i-i-%p]
n=-n'— , COS a^ — (2«-|-l— ^)wp I
en divisant cette valeur de ( 2: -+- cd') par celle de (^), on
i54 obtient
cos
n=— rt'— I COS
ha (2/1 — I — b)7cp
2nz TT ,
\^a (a/i-4-i — o)izp
et, en supprimant les facteurs communs,
ces
r^*'^-|„^+(2;,'4-3-h^)Trp
cos
ha (2/1' -h 1 — ^Itto
-4ff«'
Cemultiplicateur a pour limite ( — i)'»©'"'^*^'^^' e ** , quand n^ augmente indéfiniment ; on a donc
— 4^gt (6) e(«+»')„» = (-i)'e-"'P'e " e(3).,*,
ou bien
On voit par là que les fonctions n'admettent pas la seconde période G)', mais que lorsque l'on ajoute w' à la variable, chacune d'elles se reproduit multipliée par une exponentielle.
134. Si , dans la première et la troisième des formules (III) du n^ 131 , on remplace z par z -H 79 on a
„ „f Vurtz TT / V 1
, . "-" cos 1 (2/H-l)7rû
\ 4/ A± COS(2/ï-hl)7rp
n=.—rt' — I
cos
/27r3 TT \
COS 2 /î Trp .
En comparant ces deux expressions à la deuxiènu; et à la qu;^*
PROPRIÉTÉS D% LÀ FONCTION 0. l55
trième formules, on voit que les rapports
sont constants. On obtient leurs valeurs en faisant z = o ou z = — y , ce qui donne pour l« premier Oljj ou — ^— r- » pour
le second — j-r' D'ailleurs, les quantités ^i (7)» ^«(7) ^^^^ égales entre elles, puisque 1 ( ^ | = 1 . D'un autre côté,
il en résulte
on a
On a donc
ou bien
i'(i-) Mi-') ,^
Ainài quand on remplace z par son complément ^ — z , les
fonctions et di, 9^ et d,, se permutent Tune dans Tautre à un facteur constant près.
135, En remplaçant de même, dans les deux premières des
l56 LIVRE IV.
formules (III) du n** 131, z par z ^ > on a
\ a/ J-Ji. cos(2/H-i)irp
n=ii'
(2ir« , TT \
en comparant ces expressions aux formules (lY) du même numéro, on voit que les rapports
sont constants, on trouve, pour
Si l'on fait
s = o ■ le premiei
ou » = »
r rapport,
nii
pour le second,
La relation
donne
D'un autre côte, si dans la formule
^4 1-Wr
phopriétés de la fonction 0. iSj
on fait îl vient
d'où
pi
(w'\ 'l pi
ant< En remplaçant « par z — — dans les formules (7) et (11),
Il en résulte les^ relations suivantes ;
on a
. Hz) e.(») I- â'" — —
On déduit de là
(.2) -A tl-A g./- " - " .
Ainsi, quand on ajoute — à la variable, les deux fonctions
6 et fij, Ôj et ^8 se permutent l'une dans l'autre à une exponentielle près.
l58 LIVRE IV.
Il résulte de ce qui précède que les quatre fonctions 9 peuvent être ramenées à une seule d'entre elles , par exemple à la fonction 0, On a, en effet, en vertu des formules que nous venons de démontrer,
136. On en déduit aisément des formules qui permettent de calculer le modulé k et la période o) en fonction du rapport p des périodes. En vertu de la première des équations (lo) et des formules (II) du n^ 131, on obtient le module
La première formule (8) fournit de même le nûLedtde complémentaire
La troisième des formules (8) donne ensuite
d'où Ton déduit la valeur de la première période
(,6) ^=rni±in'.izii!^T.
Celte dernière expression peut être simplifiée : le facteur 1 — 9'^"+*^ suivant que n est pair ou impair, est de la forme
, — . qH^»'-*-n ou I — r/(«'-^0,
PROPRIÉTÉS DE LA FOMCTIOM 0. l5g
ri' recevant toutes les valeurs entières. On peul écrire
27r doù
[n=oc Tj
el par suite
On a aussi, en combinant les relations précédentes,
y/M'(f^)'=.î/^ri[.-,
j(jii+i)b
autres manières de décomposer les fonctions elliptiques en quotients de fonctions synectiques.
137. Dans le chapitre précédent, après avoir exprimé les fondions elliptiques par des produits d'un nombre infini de facteurs, nous avons évalué séparément le produit des facteurs du numérateur et celui des facteurs du dénominateur, en faisant augmenter indéfiniment d'abord w, puis w, ce qui revient, comme nous l'avons dit, à grouper les facteurs par files paral- Uleîi à la première période o). Nous serions arrivés à d'autres fonctions synectiqiies en faisant croître indéfiniment, d'abord «, puis m 5 ce qui revient à grouper les facteurs par files parallèles à la seconde période &)'.
La formule (7) du n° 125, dans laquelle on remplace w par 2 w', devient
eos — ^ — ^ — - " "
; li
TV h
CCS — r
l6o LIVRE IV i
si Ton donne successivement à h les valeurs
on obtient quatre nouvelles fonctions synectiques que nou: tinguerons des premières par un accent
e(') = iim n L»^ 4p J
-•■■■■ (a»« + i)ir
m=— m'-i COS.
~ II I ' .(2m + l)7r r
'"="*' ces
[TTZ TT (2m -f-l)7r"j
. ..... ,, — iîllZZISZj
' •■•■<- Vit (2ffH-l)gr"|
~ II I '~ . ,(2/îH-i)7t I'
(TT Z TT /TITtX
^:= iiiii I I
cos
ôV' = lim Jl
sin'— -
ni • — -
PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION &. ]6x
)ans cette dernière , on fait la convention d'attribuer à ;os| - — ^L!!L\ pour m = o la valeur y
Supposant toujours la quantité s positive, nous mettrons la seconde et la quatrième sous la forme
(nz mn\
CCS
e|'^=e "' lim Jl
CCS
ces
5 JLJL /w /Ii7r\ m— — m'— I ces I I
et nous les comprendrons dans la formule générale
e^')(,)^^==, «' H^ Jl L.^ ^ 4P J .
-=—'-' ces [^«- ^^ J- i-J
On a
û/t^-«c|(') û(')__fi.(0 fl(0^(») fl(')__fi,(i)
Dans lexpressîon des fonctions elliptiques au moyen des fonctions ou 0^*^, on peut remarquer que les deux indices a et i se trouvent permutés.
La fonction 0^*^ jouit de propriétés analogues à celles de la fonction 0. On a
138. On peut ramener les unes aux autres les fonctions & 3t@('). Nous remarquons d'abord que la fonction paire
lÔa LIVRE IV.
né devient ni nulle, ni infinie, pour aucune valeur finie de z et se réduit à Tunité z = o. On a, en vertu des relations établies précédemment,
?r I 2 TT s<
On en déduit
rf.log/(»-H^)^^.
rf.log/(8-m') 4»rt ^ rflog/(»)
et, par suite,
log/(z)
^'»Og/(gH-a>^) ^ rfMog/(z) ,
les fonctions
à\o^f{z) r\z\ rfMog/(^) /(g)/^^(0-/^Mg)
sont monodromes, comme la fonction y*(z) \ la dernière admet
les deux périodes -» w' ; mais cette fonction doublement
périodique, n^ ayant pas dHnfini dans le parallélogramme des périodes, puisque la fonction f {z) ne devient ni nulle ni infinie , pour aucune valeur finie de z , est une constante , et Ton a
rfMog/{£)
— lï' — -"'
d'où
dz
La constante /3 est nulle puisque la fonction f ( z) est impaire. Quant à la constante <x , on la déterminera eu remar-
PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION 0. l63
quant que raccroissement a - ou aw' de la fonction — ^^ ^^\
2 dz
pour un accroissement - ou w' donné à la variable z , doit être
, ^i , a ir / , 4 '^ ' • f • 4 f '
égal a — j- ou a - — j ce qui tait a = -î---.
On a donc
rflog/(«) ^KZi
dz W«' '
et, par suite,
air«'i
d'où
139. Il existe une relation très-remarquable entre les fonctions 0, qui correspondent à des modules complémentaires k et A'. Nous avons vu (n° 107) que, si l'on appelle o) et w' deux périodes elliptiques de la fonction 1 («, A), la fonction
A (z, //) admet les périodes elliptiques — aw'/, — > dont le rap-
port est — j— La formule (i) devient
bits '*^'*' COS ( ^. + fl - — (2 71 + i — à)^\
«', cos I
en la comparant à la formule (17) on voit que
Noos avons groupé les facteurs par files parallèles à la direction o) ou à la direction &)' ] on peut encore les grouper d'une infinité d'autres manières, ce qui conduit à de nouvelles fonctions sjnectiques. Imaginons en effet que l'on remplace les deux périodes w et co' par d'autres périodes (ù^ et (ù\ formant un parallélogramme élémentaire et que l'on groupe les facteurs par files parallèles à l'une des périodes Wi ou (>>\ , nous
l64 LIVRE IV.
obtiendrons de nouvelles fonctions synectiques diflërentes des premières. Mais toutes ces fonctions se ramènent à la fonction &j comme nous allons voir.
Équations diff ère f nielles auxquelles satisfont les fonctions 0.
