Reprenons la relation
En prenant les logarithmes, ctdifTérentiant, on a
flfloge (z 4- w') 4^' dAoç^e (g)
fiz «0 dz
La fonction monodrome — ^, ^ ^ ou — M est impaire; elle
dz S(z) r 7
admet la période ~9 et, quand on ajoute o/ à la variable, elle
éprouve un accroissement constant — ^^- En différentiant
une seconde fois , nous aurons
^ log e(z-\- m') ^log e (z)
Ainsi la fonction monodrome ^ — ^ou — — admet
la seconde période &)'. C'est une fonction paire doublement périodique du second ordres le parallélogramme élémentaire,
formé sur les deux périodes -9 w', est la moitié du parallélogramme relatif à la fonction X^ elle admet comme infÎDi double, dans chaque parallélogramme élémentaire, le zéro de la fonction situé dans ce parallélogramme. On pourra donc l'exprimer aisément au moyen de celle des fonctions i*,
— » — ) -» qui, ayant les mêmes périodes, admet le même infini
double. Si, par exemple, on considère la fonction Sj, on aura
^log Ô, (z)
dz"
PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION O. l65
On peut déterminer les coefficients par les considérations vivantes.
141. Les fonctions elliptiques X, |ui, v sont définies par les iquations différentielles
que l'on peut mettre soas la forme
En difierentiant, on obtient les équations du second ordre
— -2- = — v'H = Xn»H 1.
Si dans les premiers membres on remplace ^, fx, v par leurs valeurs au moyen des fonctions 0, ces équations deviennent
Ces quatre quantités égales, étant des fonctions doublement périodiques qui n'ont pas les mêmes infinis, sont égales à un même constante a.
l66 LIVKE fV.
En faisant 2 = 0, on obtient la valeur de cette constante
142. De quelque façon que Ton prenne les fonctions 0, elles satisferont toujours aux équations différentielles (21); seulement la valeur de la constante a changera. On peut donc considérer les fonctions 0, que nous avons étudiées jusqu'à présent, comme des intégrales particulières des équations (21); les intégrales générales sont
j3, y étant des constantes arbitraires.
143. Voici encore une propriété de la fonction qu'il est bon de remarquer. La fonction monodrome paire
est doublement périodique, aux périodes - et &)'; elle admet
comme infinis doubles les zéros de© (r); on Texprimera au
moyen de celle des fonctions X*, —? --j —qui admet le même
A' ft' v' *
infini double-, il faut prendre la fonction avec les mêmes indices au numérateur*, mais les indices de & [z) au dénominateur pourront différer des premiers.
On aura, par exemple,
la fonction devant s'annuler pour r^=±a, et se réduire à l'unité par z = o.
On aura , de même ,
(2i) e.(«-hg)e.(«-^) ,^y(^)y(.)
DÉVBLOP. DES FONCT. ELLIPT. EN SÉRIES CIECULÀIEES. 167
