DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS ELLIPTIQUES EN SÉRIES CIRCULAIRES
Développement de la fonction 0.
144. Si Ton pose r = e " , la fonction 0, admettant la période «, est monodrome par rapport à t ; d'ailleurs elle con* serve une valeur finie pour toutes les valeurs de f , excepté pour t = o et t = 00 5 en vertu du théorème II (n*' 30), elle se développe en une double série convergente suivant les puissances entières, positives et négatives de t.
Quand on remplace z par z -f- -> on change le signe de t.
La relation
démontrée au n^ 433, fait voir que la fonction ne change pas si b est p^ir, et change de signe si b est impair. Dans le premier cas, la série ne contiendra que les puissances paires de ^, dans le second cas que les puissances impaires. Cette série sera donc de la forme
145. H s'agit de déterminer les coefficients A^'"^ Si Ton remplace z par -z -f- w', il vient
De la relation
l68 LIVRE IV.
démontrée au même numéro, on déduit
e (3 -f- «%* = (— iYe-^^P'^A("'^e
=:(,).^~37rpi2AC'"-^')e ,
la comparaison des deux valeurs conduit à la relation
En donnant successivement à m les valeurs 0,1^29..., j m — I , on a
d'où Ton déduit, par la multiplication.
On obtient ainsi l'expression
TT i j (2 TO-+-&) - -4- (m* 4- rnb)p\
que l'on peut mettre sous la forme
a* h iw=.-H)o
/ÎI=— 00
Nous avons affecté la constante A , c*est-à-dire le coefficient du terme correspondant à m := o, des deux indices a et &, parce que la valeur de ce coefficient dépend de ces deux indices, et nous avons compris dans cette constante le facteur
a*b Ttb^ pi
Puisque
DéVBLOP. DES FONCT. ELLIPT. E» SÉRIES CIRtULÀIBES. 169
ilest clair que
Si dans la formule précédente on remplace b par &+2,
on a
m observant que ( — 1)~"* = ( — i)"* = ( — i)*, ou
Mais on sait que On en déduit
A«, ^a = Aa,é»
Ainsi toutes les constantes se réduisent aux quatre suivantes
Ao,o> A|,o» A«,i j A|^|.
146. On peut faire dépendre ces quatre constantes de deux d'entre elles. Dans la formule (i) faisons i = o ou £ = i, nous aurons
ft(,).,.=A.,.2(-')"* •- " J.
--— ^^ 27ri|(2m-+-i) --+-(2wi4-i)*Ç I
I ^ ^/ I et, eu remplaçant dans la première z par z -\ ?
On en déduit, en donnant successivement à a les valeurs et I,
\ ^ / Ao,tt 2 (a
€n comparant ces équations aux équations (11) du n^ 135, on obtient les relations
Aq, 1 ^^ A|, I I
Ao, A|^o u^ on a doue
AAa,o
ou, plus généralement,
{2) Aa,b = Aa,o^
Ainsi toutes les constantes se ramènent à deux, Ao,o ^^ ^1,0* 147. De la formule (i) on déduit
eu
,^^ 2711 (ami 4-m»/9 )-
Si dans cette dernière formule on remplace z par -^+7' il vient
DÉVELOP. DES FONCT. ELLIPT. EN SÉRIES CIECULÀIRES. I7I
En vertu de Tune des relations (9) da n^ 134, on a
?t en général
La relation (2) devient ainsi
elTon arrive à la formule générale
1 m=oo r « o\
I ^71 / \-« 37ri|(2ifH-&)--f-(2m4-i)«f I
qui représente dans tous les cas la fonction 0.
148. En appliquant cette formule générale aux quatre fonctions 0, on a
(img , \
m=— 00 wi=oo
/îi= — oc m=:oc
\ mz=L — oc
IJ2 LIVRfi IV.
Si Ton groupe les termes deux à deux, ces formule! vienneut
