V ( — 1 )*• 7'"* cos 2 /wj: If

n=QO \X TT (l —2 9*" 008 2^:4-^*")

n=QO sîn .

= ?(9')2 (— 0'"7'"^'"'*"'^si'^(2'«-|-0^• Les deux membres de chacune de ces égalités sont identités, quelles que soient a: et ^. Remplaçons q par q*^ et multiplions membre à membre, en remarquant que le produit des deux premiers membres donne le premier membre de la seconde égalité, nous aurons identiquement

[m=oo -|

m=oo

X V (— i)'"7''"^''"-*"'^sin(2/?i-{-i) J?

w;=oo

= ^(7) "V (— i)'"r/'"("-^0 sin [7.m + i).r.

174 LIVEB IV.

En égalant les coefficients des termes en sînx, il vient

Mais si dans la seconde des égalités primitives on fait x = -i on a

n=i ms:o

on en déduit la relation

= 11 ('+«'■)= n tE

i^='n (.+,■■)= ni=4.

ou

En remplaçant de nouveau q par ^* et ainsi de suite indéfiniment, le module de g étant moindre que Tunité, on arrivera à Funité comme valeur constante de cette fonction ; on a donc

n=:ao n=i

d'où

n=QO n=i

et, par suite,

n=:oo

En comparant cette formule à celles du n** 136, on obtient la relation

DÉVELOP. DES FONCT. BLUPT. EN SÉRIES CIRCULAIRES. lyS