VI

et ces c[uatre fonctions sont exprimées par les formules particulières

_____^ m=:oo

/air 4/— ^n / % / ..x . 2(2iii-f-i)7rz (i,{z)=:,yjj^jq 2 (— )"î"<"^"MnJ^ ^^-^

151. En faisant z = o dans les trois premières formules, on obtient les relations

IW=O0

JW=00

m=oo

(II) yj^-^=7.\jq 2 Ç"'"-^".

Iîl=0

qui déterminent la première période « et les modules k et A'.

l'j6 LIVRE IV.

En prenant la dérivée de la quatrième, et faisant z = o^ on a aussi

m=oo

(12) ^AA'(^^y=:i*)/q 2(-')"(=»'" + 09-'-^"-

152. La comparaison de ces formules avec celles du n^ 136 conduit à des relations remarquables entre des produits d^uu nombre infini de facteurs et des séries ordonnées suivant les puissances croissantes de la variable. En égalant les valeurs

de i/ — -j de \/— et de i/kk ( — ) » et remplaçant dans celles-ci q* par Çj on a les relations

Déi^eloppement de la fonction A.

153. Proposons-nous maintenant de développer la fonction elliptique ^(«). Nous posons toujours t = e " . Aux valeurs

qui rendent la fonction infinie, correspondent les valeurs

dont les modules varient en progression géométrique et les arguments eu progression arithmétique. Ces deux séries de

DÉVELOP, DES FONCT. FXLIPT- EN SéniES CIRCULAIRES. I77

valeurs de i forment en quelque sorle deux spirales qui, d'unr part s^éioignent à l'infini, et d'autre part se rapprochent inde- Gaimenl de Torigine. De Torigine comme centre, avec des

rayons égaux aux modules de q ^ et de <jr ^ , w désignant un nombre entier quelconque, décrivons deux cercles, la fonction i sera développable en une double série convergente suivant les puissances entières, positives ou négatives de la variable t entre ces deux cercles. Il est aisé de voir que quand le point t tourne indéfiniment sur une circonférence ayant pour centre Torigine, le point z décrit nue droite infinie parallèle à la direction w. 11 en résulte que, si l'on remplace!

{par 4? ^ , on aura une série ordonnée suivant les puissances de Texponentiellc et que cette série sera convergente pour toutes les valeurs de z situées dans la bande déterminée par les parallèles à la direction w, menées par les points

Z=(2/l — l) — 5 2=(2//4-Ij — - 2 ZÈê

Il faudra une série particulière pour chaque bande. Supposons d'abord 72 = 0, le développement relatif à t P»g- 27. s'effectuera entre deux cercles

^ ayant .pour rayons les modules de

— et de Vy> et relativement à z S/9

entre les parallèles G' G, H'H )'^''H (fig- '-^7) menées à la direction 0)

augmente z de - 9 on a

par les points z =

La fonction l {z) étant impaire et changeant de signe quand ojti

m=co

[(»IM-(-l)

— {'im •

. 77: si '1 1) —