La compara ■"'^ conduit à des re^ .^7 ( 2/in

nombre infini 7 ^(^^'' '" ^^-•

puissances ' " !

* lii'* ' , 1

. jiffcliou r,)' la longueur OB égale à «'w' cl

/(jijg ^" contour fermé A'ACDA', tracé, comme Viu- ^^ h fig"''^' ^^ manière a éviter les infinis. La fonclion re- 'W^iJa même valeur aux points correspondants des deux f^^ g j^C et A'D, les parties de l'intégrale relatives à ces deux 'tes 5® détruisent. D'un autre ( ôté, si l'on augmente w' indé- . juicnt, la partie relative à CD devient nulle 5 car, si Fou ^^^ z = nW-h jc', on voit que l'intégrale

W . 'ai

t'OJ

relative à celte ligne diminue indéfiniment. L'intégrale prise le long du contour fermé se réduit donc à la partie A' A.

On sait que le résidu relaiif à l'aiie plane A'ACD est c'gal à la somme des résidus relatifs à tous les infinis compris dans cette aire plane. Ces infinis sont disposés en deux files recliligncs OB el AC. Pour passer de la première file à la

seconde, il suflil d'augmenter z de-; /{<) el rexponenticHc

e ^' changeant de signes à la fois, leur produit re-

ïirend la même valeur, et, par conséquent, la seconde file

DÉVELOP. DES FOWCT. ELLIP. EN SÉRIES CIRCULAIRES. I ^Q

doûue les mêmes résidus que la première. Un intini quelconque de la première file est de la forme (2^ -j- i) îi- si Ton pose

il vient

cl l'on a à calculer l'intégrale

le long d'un petit cercle décrit autour du point (2/14-1) — ce qui donne

On a ainsi et, par suite,

m=oc •

,v,„ „.)=?# 2 TI$=î.-'"--')^-

lfl=0

155. De cette série établie pour la bande comprise entre les deux parallèles menées à la direction co par les points

fù «

z = et 2 = — î

on déduit aisément celle qui convient à la bande comprise entre les parallèles menées par les points

fa/i— iW (2«-f-i)ft»'

z-zir^i -i — et 8 = ^ — ^ — '•

Car si Ton pose

l8o LIVRE IV.

la nouvelle variable z' restant comprise dans la premièrr bande, on pourra appliquer la formule précédente, ce qui donne, en remplaçant z' par z — nw',

WM.) = 5^'ï:=Ç=^..i"(»».+.)(2J-'

invp

Développement de la fonction (i.

156: Les mêmes considérations s'appliquent à la fonciioTi|/. Cette fonction ayant les mêmes infinis que la fonction X, le développement s'effectuera dans les mêmes .bandes. Celle fonction étant paire, et changeant de signe quand on augmente

z de -f le développement sera de la forme

IW =

En nous bornant à la première bande, nous déterminerons comme précédemment les valeurs des coefficients, et nous aurons