IX) ^ F(^) = -^"^ 2 T^V

Développement fie la fonction v.

157. Cette fonction étant paire et admettant pour première période -» le développement aura la forme

v(z) = Co-+-2C'- V " -^^~^\

Nous nous bornerons encore à la première bande, comprise entre les parallèles G' G, H' H (/ig*. 28). En intégrant de —7

DÉVELOP. DES FONCT. KLLLP. EJN SÉRIES CiaCVLÀlRRS. l8l

87» suivant le chemin récliligiic A'A, on a

1(2) riz.

Prenons la longueur AE égale à w', et considérons l'intégrale '^* ^ ' ~ / ^ (^) ^^' prise le long du con-

tour fermé A'AEF-, les portions relatives aux côtés AE, FA' se détruisent^ la fonction v(z) changeant de signe quand on augmente z de w', la partie relative à EF est égale à celle relative à A'A; ainsi la quantité sC^^ est égale à l'intégrale prise le long du contour du parallélogramme, contour que l'on

|)t'ui réduire à un cercle infiniment petit décrit autour du

point z = ~ Si Ton |>ose

on a (n" 100)

ient -

fl Ton obtient — pour valeur de l'intégrale, ce <[ui donne Je premier coefTicient

Virt — •

On obtiendra les autres coefficients en intégrant suivant A'A, après avoir multiplié par e '" , ce qui donne

:i W TT Zl

Hz.

l8a LIVRE IV.

Prenons la longueur AC égale à n^o)^, et considérous Tintégrale prise le long du contour du parallélogramme A' AGD; la partie relative à CD devenant infiniment petite, quand ni augmente indéfiniment, il suffit d'évaluer les résidus relatifs à la file d'infinis situés dans ce parallélogramme. Si Fod pose

on a

'W=-'(-.)-?{iS.

ce qui conduit à la valeur

ll=:00

et Ton obtient ainsi la formule